Calculateur de fonction d'erreur inverse et de fonction d'erreur complémentaire inverse

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y (sans dimension) erf⁻¹ needs -1 < y < 1; erfc⁻¹ needs 0 < y < 2

Chiffres affichés 6 10 14 18 22 26 30 34 38 42 46 50

Formule

Show calculation steps (1)

1. Inverse Complementary Error Function

   

   Uses the identity erfc^-1(y) = erf^-1(1 - y); returns x such that erfc(x) = y.

Résultats

Inverse Error Function erf^-1(y)

0,2724628197

valeur x telle que erf(x) = y

erfc-1(y) = erf-1(1 - y)	0,7328691494
Saisir y	0,3

Qu'est-ce que le calculateur de fonction d'erreur inverse ?

Cet outil calcule la fonction d'erreur inverse, \(\operatorname{erf}^{-1}(y)\), ainsi que la fonction d'erreur complémentaire inverse, \(\operatorname{erfc}^{-1}(y)\), pour un argument sans dimension \(y\) donné. La fonction d'erreur $$\operatorname{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{x} e^{-t^{2}}\, dt$$ apparaît dans de nombreux domaines : probabilités, diffusion et traitement du signal. Son inverse répond à la question opposée : étant donné une valeur \(y\), quel \(x\) donne \(\operatorname{erf}(x) = y\) ?

Comment l'utiliser

Saisissez une valeur \(y\) et choisissez le nombre de chiffres à afficher. Pour \(\operatorname{erf}^{-1}\), le domaine valide est \(-1 < y < 1\) ; pour \(\operatorname{erfc}^{-1}\), le domaine valide est \(0 < y < 2\). Les deux résultats sont reliés par l'identité \(\operatorname{erfc}^{-1}(y) = \operatorname{erf}^{-1}(1 - y)\), car \(\operatorname{erfc}(x) = 1 - \operatorname{erf}(x)\). Aux bornes, les résultats divergent vers \(\pm\infty\) (par exemple \(\operatorname{erf}^{-1}(1) = +\infty\)).

La formule expliquée

Il n'existe pas de forme analytique élémentaire pour \(\operatorname{erf}^{-1}\). Nous partons de l'approximation rationnelle de Giles (2010), précise à environ \(1\mathrm{e}{-7}\), que nous affinons ensuite par la méthode de Newton : $$x_{n+1} = x_n - \frac{\operatorname{erf}(x_n) - y}{(2/\sqrt{\pi})\, e^{-x_n^{2}}}.$$ La dérivée de \(\operatorname{erf}\) vaut \((2/\sqrt{\pi})\, e^{-x^{2}}\). En itérant jusqu'à ce que le résidu \(|\operatorname{erf}(x_n) - y|\) passe sous \(1\mathrm{e}{-15}\), on obtient toute la précision en double flottant.

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erf^-1 est définie sur (-1,1) ; erfc^-1 est définie sur (0,2) et vaut erf^-1(1-y).

La fonction d'erreur inverse trouve le x dont l'erf est égale à un y donné.

Exemple détaillé

Pour \(y = 0{,}3\) : $$\operatorname{erf}^{-1}(0{,}3) \approx 0{,}2724627$$ puisque \(\operatorname{erf}(0{,}2724627) \approx 0{,}3\). Ensuite \(\operatorname{erfc}^{-1}(0{,}3) = \operatorname{erf}^{-1}(1 - 0{,}3) = \operatorname{erf}^{-1}(0{,}7) \approx 0{,}7328691\), de sorte que \(\operatorname{erfc}(0{,}7328691) = 1 - 0{,}7 = 0{,}3\).

FAQ

Pourquoi \(\operatorname{erf}^{-1}\) et \(\operatorname{erfc}^{-1}\) sont-elles égales en \(y = 0{,}5\) ? Parce que \(\operatorname{erfc}^{-1}(0{,}5) = \operatorname{erf}^{-1}(1 - 0{,}5) = \operatorname{erf}^{-1}(0{,}5)\) ; les arguments ne coïncident qu'en \(y = 0{,}5\).

Que se passe-t-il aux bornes du domaine ? \(\operatorname{erf}^{-1}(\pm 1) = \pm\infty\) et \(\operatorname{erfc}^{-1}(0) = +\infty\), \(\operatorname{erfc}^{-1}(2) = -\infty\). Une valeur hors domaine renvoie une erreur.

\(\operatorname{erf}^{-1}\) est-elle impaire ? Oui : \(\operatorname{erf}^{-1}(-y) = -\operatorname{erf}^{-1}(y)\).