Qu'est-ce que arcsn(x, k) ?
La fonction sinus elliptique de Jacobi inverse, notée arcsn(x, k), répond à la question suivante : pour une valeur x et un module elliptique k donnés, quel argument u produit sn(u, k) = x ? Ici, sn désigne le sinus elliptique de Jacobi, une généralisation doublement périodique du sinus ordinaire que l'on retrouve dans toute la théorie du mouvement du pendule, des oscillateurs non linéaires, de la représentation conforme et de la résolution de certaines équations différentielles. Cet outil relève des mathématiques pures et s'applique partout, sans distinction de pays.
La formule
arcsn(x, k) est exactement l'intégrale elliptique incomplète de première espèce évaluée à l'amplitude phi = arcsin(x) :
$$\operatorname{arcsn}(x, k) = F(\arcsin x, k) = \int_{0}^{\arcsin x} \frac{d\theta}{\sqrt{1 - k^{2}\sin^{2}\theta}}$$ ou de manière équivalente \(\int_{0}^{x} \frac{dt}{\sqrt{(1 - t^{2})(1 - k^{2} t^{2})}}\). Ce calculateur adopte la convention du module k (le paramètre vaut donc \(m = k^{2}\)). Le calcul s'appuie sur la forme symétrique de Carlson $$\operatorname{arcsn}(x, k) = x \cdot R_F\!\left(1 - x^{2},\; 1 - k^{2} x^{2},\; 1\right)$$ où \(R_F\) est évalué par l'algorithme de duplication à convergence rapide. On obtient ainsi une précision double complète et un résultat exact sous forme close.
Mode d'emploi
Saisissez x dans l'intervalle -1 à 1 et le module k dans l'intervalle 0 à 1, puis lisez la valeur u. Le sélecteur de précision ne modifie que le nombre de chiffres affichés ; le calcul sous-jacent s'effectue toujours en double précision (environ 15 chiffres significatifs).
Exemple détaillé
Pour x = 0,7 et k = 0,8 : $$\operatorname{arcsn} = 0{,}7 \cdot R_F(0{,}51;\ 0{,}6864;\ 1) \approx 0{,}7 \cdot 1{,}18218 \approx 0{,}82753$$ Pour vérifier la cohérence : avec k = 0, on obtiendrait \(\arcsin(0{,}7) = 0{,}77540\) ; comme k = 0,8 rend le dénominateur de l'intégrande inférieur à 1, l'intégrale augmente, donc \(u > 0{,}7754\), ce qui concorde avec 0,8275.
FAQ
Que se passe-t-il lorsque k = 0 ? L'intégrande se réduit à 1, donc \(\operatorname{arcsn}(x, 0) = \arcsin(x)\).
Que se passe-t-il lorsque k = 1 ? $$\operatorname{arcsn}(x, 1) = \operatorname{artanh}(x) = \tfrac{1}{2}\ln\!\left(\frac{1+x}{1-x}\right)$$ qui diverge lorsque x tend vers \(\pm 1\).
Que vaut arcsn(±1, k) pour k < 1 ? Cela donne \(\pm K(k)\), l'intégrale elliptique complète de première espèce, une valeur finie. Seule la combinaison k = 1 avec x = ±1 diverge.
