Calculateur de fonction réciproque

Entrez le calcul

a (coeff. de x au numérateur)

b (constante du numérateur)

c (coeff. de x au dénominateur)

d (constante du dénominateur)

Évaluer f⁻¹ en x (facultatif)

Modélise f(x) = (a·x + b) / (c·x + d). Pour une simple fonction affine f(x)=a·x+b, posez c=0 et d=1.

Résultats

Fonction réciproque f⁻¹(x)

f⁻¹(x) = (1x − 3) / (-0x + 2)

obtenue en échangeant x et y, puis en résolvant en y

f⁻¹ évaluée en x choisi	1
Coefficient de x au numérateur (d)	1
Constante du numérateur (−b)	-3
Coefficient de x au dénominateur (−c)	-0
Constante du dénominateur (a)	2
Déterminant ad − bc (doit être ≠ 0)	2

Qu'est-ce que le calculateur de fonction réciproque ?

Une fonction réciproque \(f^{-1}(x)\) « annule » ce que fait la fonction \(f(x)\) : si \(f(p) = q\), alors \(f^{-1}(q) = p\). Cet outil détermine la réciproque de toute fonction affine \(f(x) = ax + b\) ou, plus généralement, de toute fonction rationnelle (dite de Möbius) \(f(x) = \dfrac{ax + b}{cx + d}\). Il renvoie une formule claire pour \(f^{-1}(x)\) et peut l'évaluer pour n'importe quelle valeur de \(x\) que vous choisissez.

Comment l'utiliser

Saisissez les quatre coefficients \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\) qui décrivent votre fonction \(f(x) = \dfrac{a\cdot x + b}{c\cdot x + d}\). Si votre fonction est une simple droite, par exemple \(f(x) = 2x + 3\), posez \(a = 2\), \(b = 3\), \(c = 0\) et \(d = 1\). Vous pouvez aussi indiquer une valeur dans le champ « Évaluer en \(x\) » pour obtenir le résultat numérique de la réciproque en ce point. Le panneau de résultats affiche la réciproque sous forme symbolique ainsi que chacun de ses coefficients.

La formule expliquée

Pour inverser \(f\), on écrit \(y = \dfrac{ax + b}{cx + d}\), puis on échange les rôles de \(x\) et \(y\) pour obtenir \(x = \dfrac{ay + b}{cy + d}\), et l'on résout en \(y\). En multipliant en croix, on a \(x(cy + d) = ay + b\), donc \(y(cx - a) = b - dx\), ce qui se réarrange en $$f^{-1}(x) = \dfrac{\text{d}\,x - \text{b}}{-\text{c}\,x + \text{a}}$$ La réciproque n'existe que si le déterminant \(ad - bc \neq 0\) ; s'il est nul, la fonction est constante ou non bijective et ne peut pas être inversée.

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Une fonction et sa réciproque sont symétriques par rapport à la droite \(y = x\).

Exemple détaillé

Prenons \(f(x) = \dfrac{2x + 3}{x + 4}\), d'où \(a = 2\), \(b = 3\), \(c = 1\), \(d = 4\). La réciproque vaut $$f^{-1}(x) = \dfrac{4x - 3}{-x + 2}$$ Vérifions en \(x = 1\) : $$f^{-1}(1) = \dfrac{4 - 3}{-1 + 2} = \dfrac{1}{1} = 1$$ et effectivement $$f(1) = \dfrac{2 + 3}{1 + 4} = \dfrac{5}{5} = 1 \checkmark$$

Trouvez la réciproque en échangeant \(x\) et \(y\), puis en résolvant pour \(y\).

FAQ

Peut-il inverser des fonctions du second degré ou trigonométriques ? Non — cet outil ne traite que les fonctions affines et rationnelles de la forme \(\dfrac{ax + b}{cx + d}\), c'est-à-dire la famille que l'on peut résoudre par un seul réarrangement algébrique.

Que m'indique le déterminant ? La valeur \(ad - bc\) doit être non nulle pour qu'une réciproque existe. Si elle est égale à zéro, \(f\) n'est pas bijective et n'admet pas de réciproque.

Que se passe-t-il si le dénominateur de la réciproque s'annule pour mon \(x\) ? Alors \(f^{-1}\) n'est pas définie en ce point (asymptote verticale) ; choisissez une autre valeur de \(x\).