逆関数計算ツールとは？
逆関数 \(f^{-1}(x)\) は、もとの関数 \(f(x)\) の働きを「元に戻す」ものです。つまり \(f(p) = q\) が成り立つとき、\(f^{-1}(q) = p\) となります。このツールでは、一次関数 \(f(x) = ax + b\) はもちろん、より一般的な有理関数（メビウス変換）\(f(x) = \dfrac{ax + b}{cx + d}\) の逆関数を求められます。\(f^{-1}(x)\) のすっきりとした式を導き出し、お好きな \(x\) の値を代入して数値も計算できます。
使い方
関数 $$f(x) = \frac{a\cdot x + b}{c\cdot x + d}$$ を表す4つの係数 a・b・c・d を入力します。たとえば \(f(x) = 2x + 3\) のような単純な直線であれば、\(a = 2\)、\(b = 3\)、\(c = 0\)、\(d = 1\) と設定してください。「x の値で計算」の欄に数値を入れると、その点における逆関数の数値も求められます。結果パネルには逆関数の式と、その各係数が表示されます。
計算の仕組み
f の逆関数を求めるには、まず \(y = \dfrac{ax + b}{cx + d}\) と置き、x と y を入れ替えて \(x = \dfrac{ay + b}{cy + d}\) とします。あとはこれを y について解くだけです。両辺に分母を掛けると \(x(cy + d) = ay + b\) となり、整理すると \(y(cx - a) = b - dx\)、すなわち $$y = \frac{dx - b}{-cx + a}$$ が得られます。逆関数が存在するのは行列式 \(ad - bc \neq 0\) のときに限ります。これが 0 の場合、関数は定数になるか一対一でなくなるため、逆関数を求めることはできません。
具体例
\(f(x) = \dfrac{2x + 3}{x + 4}\) を考えてみましょう。係数は \(a = 2\)、\(b = 3\)、\(c = 1\)、\(d = 4\) です。このとき逆関数は $$f^{-1}(x) = \frac{4x - 3}{-x + 2}$$ になります。\(x = 1\) で確かめると、$$f^{-1}(1) = \frac{4 - 3}{-1 + 2} = \frac{1}{1} = 1.$$ 一方で \(f(1) = \dfrac{2 + 3}{1 + 4} = \dfrac{5}{5} = 1\) となり、確かに一致します。✓
よくある質問
二次関数や三角関数の逆関数も求められますか？ いいえ。このツールが対応するのは \(\dfrac{ax + b}{cx + d}\) の形をした一次関数と有理関数のみです。これは1回の代数的な変形で解ける関数の仲間に限られます。
行列式は何を意味しますか？ 逆関数が存在するためには、\(ad - bc\) の値が 0 でないことが必要です。これが 0 のとき、f は一対一ではなく、逆関数を持ちません。
入力した x で逆関数の分母が 0 になる場合は？ その点では \(f^{-1}\) は定義されません（垂直漸近線になります）。別の x の値を選んでください。
