このツールでできること
このツールは、3つの未知数（x・y・z）を含む3元連立一次方程式を解きます。次の標準形で、各方程式の係数を入力してください。
\(a_1x + b_1y + c_1z = d_1\)
\(a_2x + b_2y + c_2z = d_2\)
\(a_3x + b_3y + c_3z = d_3\)
計算ツールは、x・y・zの一意な解に加えて、係数行列式 \(\det(A)\) を返します。負の数・分数・小数を含む、あらゆる実数の係数に対応しています。
使い方
各行が1つの方程式に対応します。xの係数（a）、yの係数（b）、zの係数（c）を入力し、続けて右辺の定数（d）を入力してください。値を入れる前に、すべての変数を左辺へ、定数を右辺へ移項しておきます。たとえば「\(5 = 2x - y\)」という式は、「\(2x - y + 0z = 5\)」と書き換えてから入力します。
計算式の解説
解の計算にはクラメルの公式を使います。まず係数行列 A の行列式を求めます。次に各変数について、対応する列を定数の列 d で置き換えた行列の行列式を計算します。これらを割ることで、各変数の値が求まります。
$$x = \dfrac{\det(A_x)}{\det(A)},\quad y = \dfrac{\det(A_y)}{\det(A)},\quad z = \dfrac{\det(A_z)}{\det(A)}$$
\(\det(A) = 0\) の場合、クラメルの公式は使えません。この連立方程式は一意な解を持たず（解なし、または無数の解）、ツールはその旨を表示します。
計算例
次の連立方程式を解いてみましょう。\(2x + y - z = 8\)、\(-3x - y + 2z = -11\)、\(-2x + y + 2z = -3\)。
\(\det(A) = -1\) となります。クラメルの公式を適用すると \(\det(A_x) = -2\)、\(\det(A_y) = -3\)、\(\det(A_z) = 1\) となり、\(x = 2\)、\(y = 3\)、\(z = -1\) が得られます。検算してみましょう：$$2(2)+3-(-1)=8 \checkmark$$
結果の解釈
3×3連立方程式の各式は、3次元空間における平面を表します。解は3つの平面がすべて交わる点であり、行列式 \(D=\det(A)\) の値があなたがどのケースにあるかを示します。
\(D\neq0\): 一意解
係数行列式がゼロでないとき、3つの平面は正確に1つの点で交わります。クラメルの公式は単一の \((x,y,z)\) を返し、その順序付き三つ組は3つのすべての方程式を同時に満たす唯一の値のセットです。これは一貫性のある、独立したシステムです。出力 \(x=D_x/D\)、\(y=D_y/D\)、\(z=D_z/D\) は正確です（丸め誤差を除き）し、元の方程式に代入して検証できます。
\(D=0\): 一意解なし
\(D=0\) のとき、行列は特異で、クラメルの公式は割算できません。2つの部分ケースが存在します：
- 矛盾 — 解なし。 平面に共通点がありません（たとえば、2つ以上が平行であるか、3つすべての平面の上にある単一の点がない三角柱配置を形成しています）。システムはゼロ個の解を持ちます。
- 従属 — 無限の解。 平面は直線全体を共有します（または一致します）。ここで方程式は独立していなく、通常、自由パラメータで記述される \((x,y,z)\) 三つ組の無限族があります。
行列式だけではこれら2つを区別することはできず、方程式を検査して（たとえば、行簡約化を経由して）、それらが矛盾しているか冗長かを判断する必要があります。
x、y、z出力を読む
返される3つの数は、すべての方程式を真にする座標です。値は負、ゼロ、または分数である可能性があります。電卓が \(D=0\) を報告する場合、分割された結果を信頼するのではなく、注意して答えを扱い、システムを再度検査してください。
定義と用語集
- 係数行列 \(A\)
- 各方程式の左側で \(x, y, z\) を乗じる数の3×3配列。行は方程式、列は \(x\)、\(y\)、\(z\) に対応します。
- 定数ベクトル \(d\)
- 右辺の値 \((d_1, d_2, d_3)\) の列。方程式がこれに等しくなります。
- 行列式 \(\det(A)\)（\(D\) とも表記）
- 正方行列から計算される単一スカラーで、行列が可逆かどうかを測定します。\(\det(A)\neq0\) は一意解が存在することを意味します。
- クラメルの公式
- 各変数を行列式の比として記述することで、正方線形システムを解く方法：\(x=D_x/D\)、\(y=D_y/D\)、\(z=D_z/D\)。ここで \(D_x, D_y, D_z\) は対応する列を \(d\) で置き換えることから来ます。
- サリュスの規則
- 3×3行列の行列式の近道：左上から右下に走る3つの対角線の和から、右上から左下に走る3つの対角線を引きます。
- 特異行列
- 行列式が \(0\) である正方行列。逆行列がないため、クラメルの公式は一意解をもたらしません。
- 一意解
- システムを満たす正確に1つの \((x,y,z\)；\(D\neq0\) のときに発生します。
- 一貫性のあるシステム
- 少なくとも1つの解（1つまたは無限個）を持つシステム。
- 従属システム
- 方程式がすべて独立していないため、無限の解を持つ一貫性のあるシステム。
- 矛盾するシステム
- まったく解がないシステム。その方程式は互いに矛盾しています。
- 行ごとの \(a, b, c, d\)
- 行 \(i\) 内で、\(a_i\) は \(x\)-係数、\(b_i\) は \(y\)-係数、\(c_i\) は \(z\)-係数、\(d_i\) は右辺の定数です。
よくある質問
\(\det(A)\) がゼロのときは？ 3つの平面が1点で交わらないため、一意な\((x, y, z)\)は存在しません。この連立方程式は「解が矛盾している（解なし）」か「従属している（無数の解）」のいずれかです。
小数や分数は使えますか？ はい。小数はそのまま入力できます（\(1/2\) ではなく \(0.5\) と入力してください）。
クラメルの公式は正確ですか？ 3×3の連立方程式では、一般的な入力に対して厳密かつ安定して計算できます。ただし、数値が極端に大きい場合や、ほぼ特異な行列の場合は、末尾の小数にわずかな丸め誤差が生じることがあります。
