Что делает этот калькулятор
Этот инструмент решает систему из трёх линейных уравнений с тремя неизвестными (x, y, z). Вы задаёте коэффициенты уравнений в стандартном виде:
\(a_1x + b_1y + c_1z = d_1\)
\(a_2x + b_2y + c_2z = d_2\)
\(a_3x + b_3y + c_3z = d_3\)
Калькулятор находит единственные значения x, y и z, а также определитель матрицы коэффициентов \(\det(A)\). Он работает с любыми действительными коэффициентами — отрицательными числами, дробями и десятичными значениями.
Как пользоваться
Каждая строка соответствует одному уравнению. Введите коэффициент при x (a), при y (b) и при z (c), а затем свободный член в правой части (d). Перед вводом данных перенесите все переменные влево, а константу — вправо. Например, если уравнение записано как \(5 = 2x - y\), перепишите его в виде \(2x - y + 0z = 5\).
Разбор формулы
Решение строится по методу Крамера. Сначала вычисляется определитель матрицы коэффициентов A. Затем для каждой переменной мы заменяем соответствующий столбец матрицы A столбцом свободных членов d и находим определитель полученной матрицы. Деление даёт значение переменной:
$$x = \dfrac{\det(A_x)}{\det(A)},\quad y = \dfrac{\det(A_y)}{\det(A)},\quad z = \dfrac{\det(A_z)}{\det(A)}$$Если \(\det(A) = 0\), метод Крамера неприменим — система не имеет единственного решения (либо решений нет вовсе, либо их бесконечно много), и калькулятор сообщит об этом.
Пример решения
Решим систему \(2x + y - z = 8\), \(-3x - y + 2z = -11\), \(-2x + y + 2z = -3\).
\(\det(A) = -1\). Применяя метод Крамера, получаем \(\det(A_x) = -2\), \(\det(A_y) = -3\), \(\det(A_z) = 1\), поэтому \(x = 2\), \(y = 3\), \(z = -1\). Можно проверить: $$2(2)+3-(-1)=8 \;\checkmark$$
Частые вопросы
Что если \(\det(A)\) равен нулю? Три плоскости не пересекаются в одной точке, поэтому единственного решения (x, y, z) не существует. Система либо несовместна, либо имеет зависимые уравнения.
Можно ли вводить десятичные дроби? Да — вводите десятичные значения напрямую (например, 0,5 вместо 1/2).
Насколько точен метод Крамера? Для системы 3×3 он даёт точный результат и устойчив при обычных значениях. Для очень больших или почти вырожденных систем возможны небольшие погрешности округления в последних знаках.
Интерпретация вашего результата
Каждое уравнение в системе 3×3 описывает плоскость в трёхмерном пространстве. Решение — это точка (или точки), где пересекаются все три плоскости, и значение определителя \(D=\det(A)\) показывает, в каком из трёх случаев вы находитесь.
\(D\neq0\): единственное решение
Когда определитель матрицы коэффициентов ненулевой, три плоскости пересекаются ровно в одной точке. Правило Крамера возвращает одну упорядоченную тройку \((x,y,z)\), и эта тройка — единственный набор значений, удовлетворяющий всем трём уравнениям одновременно. Это совместная, независимая система. Выходные значения \(x=D_x/D\), \(y=D_y/D\), \(z=D_z/D\) точны (в пределах округления) и могут быть проверены подстановкой в исходные уравнения.
\(D=0\): нет единственного решения
Когда \(D=0\) матрица вырождена и правило Крамера не может применяться. Существуют два подслучая:
- Несовместная — нет решения. Плоскости не имеют общей точки (например, две или более параллельны, или они образуют треугольную призму, где ни одна точка не лежит на всех трёх). Система имеет нулевое число решений.
- Зависимая — бесконечно много решений. Плоскости имеют общую прямую (или совпадают). Здесь уравнения не являются независимыми, и существует бесконечное семейство троек \((x,y,z)\), обычно описываемое со свободным параметром.
Один только определитель не может различить эти два случая; вам нужно проверить сами уравнения (например, с помощью приведения к ступенчатому виду), чтобы увидеть, противоречивы они или избыточны.
Чтение выходных значений x, y, z
Три возвращаемых числа — это координаты, которые делают каждое уравнение верным. Значение может быть отрицательным, нулевым или дробным. Если калькулятор сообщает \(D=0\), относитесь к ответу с осторожностью и перепроверьте систему вместо того, чтобы доверять делению.
Определения и глоссарий
- Матрица коэффициентов \(A\)
- Массив 3×3 чисел, на которые умножаются \(x, y, z\) в левой части каждого уравнения: строки — это уравнения, столбцы соответствуют \(x\), \(y\) и \(z\).
- Вектор констант \(d\)
- Столбец \((d_1, d_2, d_3)\) значений правых частей, на которые равны уравнения.
- Определитель \(\det(A)\) (также \(D\))
- Скалярное число, вычисленное из квадратной матрицы, которое показывает, обратима ли матрица. \(\det(A)\neq0\) означает, что существует единственное решение.
- Правило Крамера
- Метод, решающий квадратную линейную систему путём записи каждой переменной как отношения определителей: \(x=D_x/D\), \(y=D_y/D\), \(z=D_z/D\), где \(D_x, D_y, D_z\) получаются заменой соответствующего столбца на \(d\).
- Правило Сарруса
- Ярлык для вычисления определителя матрицы 3×3: сложите три диагонали, идущие слева сверху вниз направо, и вычтите три диагонали, идущие справа сверху вниз налево.
- Вырожденная матрица
- Квадратная матрица, определитель которой равен \(0\); она не имеет обратной, поэтому правило Крамера не даёт единственного решения.
- Единственное решение
- Ровно одна тройка \((x,y,z)\) удовлетворяет системе; происходит, когда \(D\neq0\).
- Совместная система
- Система, имеющая хотя бы одно решение (одно или бесконечно много).
- Зависимая система
- Совместная система с бесконечно многими решениями, потому что не все уравнения являются независимыми.
- Несовместная система
- Система без решения; её уравнения противоречивы.
- \(a, b, c, d\) для каждой строки
- В строке \(i\), \(a_i\) — это коэффициент при \(x\), \(b_i\) — коэффициент при \(y\), \(c_i\) — коэффициент при \(z\), и \(d_i\) — константа в правой части.
