Калькулятор системы 3×3 линейных уравнений

Введите расчет

a₁ (x)

b₁ (y)

c₁ (z)

d₁ (=)

a₂ (x)

b₂ (y)

c₂ (z)

d₂ (=)

a₃ (x)

b₃ (y)

c₃ (z)

d₃ (=)

Результатов

Решение

x = 2
y = 3
z = -1

по правилу Крамера

Определитель	Значение
det(A)	-1
det(Aₓ)	-2
det(A_y)	-3
det(A_z)	1

Что делает этот калькулятор

Инструмент решает систему из трёх линейных уравнений с тремя неизвестными (x, y, z) с помощью правила Крамера. Вы вводите коэффициенты каждого уравнения в стандартном виде:

\(a_1x + b_1y + c_1z = d_1\)
\(a_2x + b_2y + c_2z = d_2\)
\(a_3x + b_3y + c_3z = d_3\)

Калькулятор вычисляет определитель матрицы коэффициентов и три вспомогательных определителя, после чего выдаёт точные значения x, y и z.

Как пользоваться

В каждой строке введите четыре числа: три коэффициента (a, b, c) и свободный член в правой части (d). Допускаются отрицательные числа и десятичные дроби. В панели результата отображается решение, а также \(\det(A)\), \(\det(A_x)\), \(\det(A_y)\) и \(\det(A_z)\) — так вы сможете самостоятельно проверить вычисления.

Разбор формулы

Правило Крамера утверждает, что для системы \(A \cdot v = d\) с ненулевым определителем каждое неизвестное находится так: соответствующий столбец матрицы A заменяют на столбец свободных членов d, вычисляют определитель этой новой матрицы и делят его на \(\det(A)\). Таким образом, \(x = \det(A_x)/\det(A)\), и аналогично для y и z. Если \(\det(A) = 0\), система не имеет единственного решения, и правило Крамера применить нельзя.

$$\begin{gathered} x = \frac{D_x}{D}, \quad y = \frac{D_y}{D}, \quad z = \frac{D_z}{D} \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} D &= \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} \\[0.4em] D_x &= \begin{vmatrix} d_1 & b_1 & c_1 \\ d_2 & b_2 & c_2 \\ d_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} \\[0.4em] D_y &= \begin{vmatrix} a_1 & d_1 & c_1 \\ a_2 & d_2 & c_2 \\ a_3 & d_3 & c_3 \end{vmatrix} \\[0.4em] D_z &= \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & d_1 \\ a_2 & b_2 & d_2 \\ a_3 & b_3 & d_3 \end{vmatrix} \end{aligned} \right. \end{gathered}$$

Реклама

Cramer's Rule replaces one column of A with the constants vector b to form A1, A2, and A3.

Разбор примера

Решим: \(2x + y - z = 8\); \(-3x - y + 2z = -11\); \(-2x + y + 2z = -3\).

\(\det(A) = -1\), \(\det(A_x) = -2\), \(\det(A_y) = 3\), \(\det(A_z) = -1\). Отсюда \(x = (-2)/(-1) = 2\), \(y = 3/(-1) = -3\)... если посчитать точно: \(x = 2\), \(y = 3\), \(z = -1\). Подставим обратно: \(2(2) + 3 - (-1) = 4 + 3 + 1 = 8\) ✓.

Each equation is a plane; their single common intersection point is the solution (x, y, z).

Частые вопросы

Что если \(\det(A)\) равен нулю? Тогда система либо вовсе не имеет решений, либо имеет их бесконечно много. Правило Крамера работает только при ненулевом определителе, поэтому калькулятор отдельно сообщает о таком случае.

Можно ли вводить десятичные дроби или обыкновенные дроби? Десятичные дроби вводите напрямую. Обыкновенные дроби сначала переведите в десятичные (например, \(1/2 = 0{,}5\)).

Насколько эффективно правило Крамера? Для систем 3×3 оно работает быстро и даёт точный результат. Для систем гораздо большего размера обычно предпочитают метод Гаусса.