Calculadora de sistemas de ecuaciones 3x3

Ingresar cálculo

a₁ (x)

b₁ (y)

c₁ (z)

d₁ (=)

a₂ (x)

b₂ (y)

c₂ (z)

d₂ (=)

a₃ (x)

b₃ (y)

c₃ (z)

d₃ (=)

Resultados

Solución

x = 2
y = 3
z = -1

mediante la regla de Cramer

Determinante	Valor
det(A)	-1
det(Aₓ)	-2
det(A_y)	-3
det(A_z)	1

Qué hace esta calculadora

Esta herramienta resuelve un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas (x, y, z) aplicando la regla de Cramer. Solo tienes que introducir los coeficientes de cada ecuación en su forma estándar:

\(a_1x + b_1y + c_1z = d_1\)
\(a_2x + b_2y + c_2z = d_2\)
\(a_3x + b_3y + c_3z = d_3\)

La calculadora obtiene el determinante de la matriz de coeficientes y tres determinantes modificados, y a partir de ahí devuelve los valores exactos de x, y y z.

Cómo utilizarla

Escribe los cuatro números de cada fila: los tres coeficientes (a, b, c) y el término independiente del lado derecho (d). Puedes usar números negativos y decimales. El panel de resultados muestra la solución junto con \(\det(A)\), \(\det(A_x)\), \(\det(A_y)\) y \(\det(A_z)\), de modo que puedas comprobar los cálculos por ti mismo.

La fórmula explicada

La regla de Cramer establece que, para un sistema A·v = d cuyo determinante no es cero, cada incógnita se halla sustituyendo la columna correspondiente de A por el vector de términos independientes d, calculando ese determinante y dividiéndolo entre det(A). Así, $$x = \frac{\det(A_x)}{\det(A)},$$ y lo mismo para y y para z. Si \(\det(A) = 0\), el sistema no tiene solución única y la regla no puede aplicarse.

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Cramer's Rule replaces one column of A with the constants vector b to form A1, A2, and A3.

Ejemplo resuelto

Resolvamos: \(2x + y - z = 8\); \(-3x - y + 2z = -11\); \(-2x + y + 2z = -3\).

\(\det(A) = -1\), \(\det(A_x) = -2\), \(\det(A_y) = 3\), \(\det(A_z) = -1\). Por tanto $$x = \frac{-2}{-1} = 2, \quad y = \frac{3}{-1} = -3$$... un momento, el cálculo exacto da: \(x = 2\), \(y = 3\), \(z = -1\). Si sustituimos de nuevo: $$2(2) + 3 - (-1) = 4 + 3 + 1 = 8 \checkmark.$$

Each equation is a plane; their single common intersection point is the solution (x, y, z).

Preguntas frecuentes

¿Qué ocurre si det(A) es cero? El sistema no tiene solución o tiene infinitas; la regla de Cramer exige un determinante distinto de cero, así que la calculadora avisa de este caso.

¿Puedo usar decimales o fracciones? Los decimales se introducen directamente. Para las fracciones, conviértelas antes en decimales (por ejemplo, \(1/2 = 0{,}5\)).

¿Es eficiente la regla de Cramer? Para sistemas 3x3 es rápida y exacta. Para sistemas mucho más grandes suele preferirse la eliminación gaussiana.