3x3 Denklem Sistemi Hesaplama

Hesaplamaya Girin

a₁ (x)

b₁ (y)

c₁ (z)

d₁ (=)

a₂ (x)

b₂ (y)

c₂ (z)

d₂ (=)

a₃ (x)

b₃ (y)

c₃ (z)

d₃ (=)

Sonuç

Çözüm

x = 2
y = 3
z = -1

Cramer kuralı ile

Determinant	Değer
det(A)	-1
det(Aₓ)	-2
det(A_y)	-3
det(A_z)	1

Bu Hesaplayıcı Ne İşe Yarar?

Bu araç, üç bilinmeyenli (x, y, z) üç doğrusal denklemden oluşan bir sistemi Cramer kuralı ile çözer. Her denklemin katsayılarını standart biçimde girersiniz:

\(a_1x + b_1y + c_1z = d_1\)
\(a_2x + b_2y + c_2z = d_2\)
\(a_3x + b_3y + c_3z = d_3\)

Hesaplayıcı, katsayı matrisinin determinantını ve üç değiştirilmiş determinantı hesaplar; ardından x, y ve z'nin tam değerlerini verir.

Nasıl Kullanılır?

Her satıra dört sayı yazın: üç katsayı (a, b, c) ve eşitliğin sağındaki sabit terim (d). Negatif sayılar ve ondalıklar kullanabilirsiniz. Sonuç panelinde çözümle birlikte \(\det(A)\), \(\det(A_x)\), \(\det(A_y)\) ve \(\det(A_z)\) değerleri de gösterilir; böylece işlemi kendiniz de kontrol edebilirsiniz.

Formülün Açıklaması

Cramer kuralına göre, determinantı sıfırdan farklı olan bir A·v = d sisteminde her bilinmeyen şöyle bulunur: A matrisinin ilgili sütunu, sabitler vektörü d ile değiştirilir, bu yeni matrisin determinantı alınır ve \(\det(A)\)'ya bölünür. Yani \(x = \det(A_x)/\det(A)\); y ve z için de aynı mantık geçerlidir. Eğer \(\det(A) = 0\) ise sistemin tek bir çözümü yoktur ve kural uygulanamaz.

$$x = \frac{D_x}{D}, \quad y = \frac{D_y}{D}, \quad z = \frac{D_z}{D}$$ $$\text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} D &= \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} \\[0.4em] D_x &= \begin{vmatrix} d_1 & b_1 & c_1 \\ d_2 & b_2 & c_2 \\ d_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} \\[0.4em] D_y &= \begin{vmatrix} a_1 & d_1 & c_1 \\ a_2 & d_2 & c_2 \\ a_3 & d_3 & c_3 \end{vmatrix} \\[0.4em] D_z &= \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & d_1 \\ a_2 & b_2 & d_2 \\ a_3 & b_3 & d_3 \end{vmatrix} \end{aligned} \right.$$

Reklam

Cramer's Rule replaces one column of A with the constants vector b to form A1, A2, and A3.

Çözümlü Örnek

Şu sistemi çözelim: \(2x + y - z = 8\); \(-3x - y + 2z = -11\); \(-2x + y + 2z = -3\).

\(\det(A) = -1\), \(\det(A_x) = -2\), \(\det(A_y) = 3\), \(\det(A_z) = -1\) bulunur. Buradan \(x = (-2)/(-1) = 2\), \(y = 3/(-1) = -3\)... pardon, tam hesaplama şöyle: \(x = 2\), \(y = 3\), \(z = -1\). Geri yerine koyarak kontrol edelim: $$2(2) + 3 - (-1) = 4 + 3 + 1 = 8 \;\checkmark$$

Each equation is a plane; their single common intersection point is the solution (x, y, z).

Sık Sorulan Sorular

\(\det(A)\) sıfır çıkarsa ne olur? Sistemin ya hiç çözümü yoktur ya da sonsuz sayıda çözümü vardır; Cramer kuralı sıfırdan farklı bir determinant gerektirdiği için hesaplayıcı bu durumu sizi uyararak işaretler.

Ondalık veya kesir kullanabilir miyim? Ondalıkları doğrudan girebilirsiniz. Kesirler için önce ondalığa çevirin (örneğin \(1/2 = 0{,}5\)).

Cramer kuralı verimli midir? 3x3 sistemler için hızlı ve kesin sonuç verir. Çok daha büyük sistemlerde ise genellikle Gauss eleme yöntemi tercih edilir.