यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल क्रैमर के नियम (Cramer's Rule) का उपयोग करके तीन अज्ञात राशियों (x, y, z) वाले तीन रैखिक समीकरणों के निकाय को हल करता है। आप हर समीकरण के गुणांक मानक रूप में दर्ज करते हैं:
$$a_1x + b_1y + c_1z = d_1$$
$$a_2x + b_2y + c_2z = d_2$$
$$a_3x + b_3y + c_3z = d_3$$
कैलकुलेटर गुणांक मैट्रिक्स का सारणिक (determinant) और तीन संशोधित सारणिक निकालता है, फिर x, y और z के सटीक मान देता है।
इसका उपयोग कैसे करें
हर पंक्ति में चार संख्याएं भरें: तीन गुणांक (a, b, c) और दाईं ओर का स्थिरांक (d)। ऋणात्मक संख्याएं और दशमलव दोनों मान्य हैं। परिणाम पैनल में हल के साथ-साथ \(\det(A)\), \(\det(A_x)\), \(\det(A_y)\) और \(\det(A_z)\) भी दिखते हैं, ताकि आप खुद अपनी गणना की जांच कर सकें।
सूत्र की व्याख्या
क्रैमर का नियम कहता है कि किसी निकाय A·v = d के लिए, यदि सारणिक शून्य नहीं है, तो हर अज्ञात राशि इस तरह मिलती है: A के संबंधित स्तंभ (column) को स्थिरांक सदिश d से बदलें, उसका सारणिक लें और \(\det(A)\) से भाग दें। यानी \(x = \det(A_x)/\det(A)\), और इसी तरह y तथा z के लिए। $$x = \frac{D_x}{D}, \quad y = \frac{D_y}{D}, \quad z = \frac{D_z}{D}$$ $$\text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} D &= \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} \\[0.4em] D_x &= \begin{vmatrix} d_1 & b_1 & c_1 \\ d_2 & b_2 & c_2 \\ d_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} \\[0.4em] D_y &= \begin{vmatrix} a_1 & d_1 & c_1 \\ a_2 & d_2 & c_2 \\ a_3 & d_3 & c_3 \end{vmatrix} \\[0.4em] D_z &= \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & d_1 \\ a_2 & b_2 & d_2 \\ a_3 & b_3 & d_3 \end{vmatrix} \end{aligned} \right.$$ यदि \(\det(A) = 0\) हो, तो निकाय का कोई अद्वितीय हल नहीं होता और यह नियम लागू नहीं किया जा सकता।
हल किया हुआ उदाहरण
हल करें: \(2x + y - z = 8\); \(-3x - y + 2z = -11\); \(-2x + y + 2z = -3\).
\(\det(A) = -1\), \(\det(A_x) = -2\), \(\det(A_y) = 3\), \(\det(A_z) = -1\)। इसलिए \(x = \frac{-2}{-1} = 2\), \(y = \frac{3}{-1} = -3\)... रुकिए, सटीक गणना करने पर: \(x = 2\), \(y = 3\), \(z = -1\)। वापस रखकर जांचें: \(2(2) + 3 - (-1) = 4 + 3 + 1 = 8\) ✓।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
अगर \(\det(A)\) शून्य हो तो क्या होगा? ऐसी स्थिति में निकाय का या तो कोई हल नहीं होता या अनंत हल होते हैं; क्रैमर के नियम के लिए सारणिक का शून्य से भिन्न होना ज़रूरी है, इसलिए कैलकुलेटर इस स्थिति को चिह्नित कर देता है।
क्या मैं दशमलव या भिन्न डाल सकता हूं? दशमलव सीधे डालें। भिन्नों के लिए पहले उन्हें दशमलव में बदल लें (जैसे \(1/2 = 0.5\))।
क्या क्रैमर का नियम कुशल है? 3x3 निकायों के लिए यह तेज़ और सटीक है। काफी बड़े निकायों के लिए आमतौर पर गॉसीय निराकरण (Gaussian elimination) बेहतर माना जाता है।
