3x3 मैट्रिक्स इन्वर्स कैलकुलेटर क्या है?

यह टूल वास्तविक संख्याओं वाले किसी भी 3x3 मैट्रिक्स का व्युत्क्रम (इन्वर्स) $A^{-1}$ निकालता है। व्युत्क्रम वह अद्वितीय मैट्रिक्स है जो शर्त $A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I$ को पूरा करता है, जहाँ I एक 3x3 तत्समक (आइडेंटिटी) मैट्रिक्स है। व्युत्क्रम तभी मौजूद होता है जब A का डिटरमिनेंट शून्य न हो; अन्यथा वह मैट्रिक्स सिंगुलर कहलाता है और उसका कोई व्युत्क्रम नहीं होता।

इसका उपयोग कैसे करें

अपने मैट्रिक्स की नौ प्रविष्टियाँ एक-एक खाने में (पंक्ति दर पंक्ति) भरें। लेबल a11..a33 का अर्थ है पंक्ति i, स्तंभ j। साधारण दशमलव संख्याएँ डालें (1/3 जैसी भिन्नों को यह नहीं पढ़ता)। चाहें तो दिखाए जाने वाले परिणाम के लिए सार्थक अंकों (सिग्निफिकेंट डिजिट्स) की संख्या चुन सकते हैं। फिर calculate दबाएँ और व्युत्क्रम मैट्रिक्स तथा डिटरमिनेंट देखें।

सूत्र

A = [[a11,a12,a13],[a21,a22,a23],[a31,a32,a33]] के लिए डिटरमिनेंट इस प्रकार है:

$$\det A = a_{11}(a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}) - a_{12}(a_{21}a_{33} - a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32} - a_{22}a_{31})$$

व्युत्क्रम, कोफैक्टर मैट्रिक्स के ट्रांसपोज़ (यानी एडजुगेट) को डिटरमिनेंट से भाग देने पर मिलता है:

$$A^{-1} = \frac{1}{\det A}\,\operatorname{adj}(A)$$

$$b_{ij} = \frac{C_{ji}}{\det A}$$

3x3 आव्यूह को उसके सारणिक के व्युत्क्रम और सहखंडज आव्यूह से गुणा करते हुए आरेख — प्रतिलोम, सहखंडज आव्यूह को सारणिक के व्युत्क्रम से गुणा करने पर मिलता है।

हल किया हुआ उदाहरण

मान लीजिए A = [[1,2,3],[0,1,4],[5,6,0]]।

$$\det A = 1(0-24) - 2(0-20) + 3(0-5) = -24 + 40 - 15 = 1$$

इसका व्युत्क्रम $A^{-1} = [[-24,18,5],[20,-15,-4],[-5,4,1]]$ है। आप $A \cdot A^{-1} = I$ की जाँच करके इसे सत्यापित कर सकते हैं।

3x3 ग्रिड जो एक पंक्ति और स्तंभ हटाकर बना 2x2 लघु सारणिक दिखाता है, चिह्न शतरंज बिसात के साथ — हर सहगुणक 2x2 लघु सारणिक और बारी-बारी से धन/ऋण चिह्न पैटर्न का उपयोग करता है।

मुख्य शर्तें और परिभाषाएँ

सारणिक (डिटर्मिनेंट): एक एकल अदिश $\det A$ जो एक वर्ग मैट्रिक्स की प्रविष्टियों से गणना की जाती है। 3×3 मैट्रिक्स के लिए इसे सहगुणक विस्तार द्वारा पाया जा सकता है। यह आपको बताता है कि मैट्रिक्स व्युत्क्रमणीय है या नहीं: $A^{-1}$ मौजूद है यदि और केवल यदि $\det A \neq 0$।
लघु (माइनर): लघु $M_{ij}$ पंक्ति $i$ और स्तंभ $j$ को हटाने के बाद बची छोटी मैट्रिक्स का सारणिक है। 3×3 मैट्रिक्स के लिए प्रत्येक लघु एक 2×2 सारणिक है।
सहगुणक (कोफैक्टर): एक हस्ताक्षरित लघु: $C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$। सहगुणक सारणिक और सहायक दोनों के निर्माण खंड हैं।
सहायक (एडजॉइंट): सहगुणक मैट्रिक्स का स्थानांतरण, जिसे $\operatorname{adj}(A)$ के रूप में लिखा जाता है। व्युत्क्रम सूत्र $A^{-1}=\tfrac{1}{\det A}\operatorname{adj}(A)$ है। (रैखिक बीजगणित में यह "एडजॉइंट" जटिल मैट्रिक्स में उपयोग किए जाने वाले संयुग्म-स्थानांतरण एडजॉइंट से अलग है।)
तत्समक मैट्रिक्स: वर्ग मैट्रिक्स $I$ जिसमें मुख्य विकर्ण पर 1 और अन्य जगहों पर 0 हैं। यह गुणनात्मक तत्समक के रूप में कार्य करता है: $AI=IA=A$, और परिभाषा के अनुसार $A\,A^{-1}=A^{-1}A=I$।
विलक्षण मैट्रिक्स: एक वर्ग मैट्रिक्स जिसका सारणिक शून्य है। एक विलक्षण मैट्रिक्स का कोई व्युत्क्रम नहीं है क्योंकि $\det A=0$ से विभाजन अपरिभाषित है।
स्थानांतरण (ट्रांसपोज़): मैट्रिक्स $A^{\mathsf T}$ पंक्तियों और स्तंभों को स्वैप करके प्राप्त किया जाता है, इसलिए प्रविष्टि $(i,j)$ प्रविष्टि $(j,i)$ बन जाती है। सहगुणक मैट्रिक्स को स्थानांतरित करने से सहायक प्राप्त होता है।
चिन्ह / शतरंज पैटर्न: $(-1)^{i+j}$ चिन्हों की व्यवस्था जो लघुओं पर लागू होती है, जो शतरंज की तरह वैकल्पिक होती है: $\begin{pmatrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & +\end{pmatrix}$। यह प्रत्येक लघु को सही सहगुणक में परिवर्तित करता है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

अगर डिटरमिनेंट शून्य हो तो क्या होगा? ऐसा मैट्रिक्स सिंगुलर होता है और उसका कोई व्युत्क्रम नहीं होता; कैलकुलेटर यह बात स्पष्ट संदेश के साथ दिखा देता है।

मेरे परिणाम इतने बड़े क्यों आ रहे हैं? अगर डिटरमिनेंट शून्य के बहुत करीब है, तो मैट्रिक्स लगभग सिंगुलर होता है और व्युत्क्रम संख्यात्मक रूप से अस्थिर हो जाता है, जिससे बहुत बड़ी प्रविष्टियाँ बनती हैं।

क्या तत्समक मैट्रिक्स का व्युत्क्रम वही रहता है? हाँ, तत्समक (आइडेंटिटी) मैट्रिक्स का व्युत्क्रम स्वयं तत्समक मैट्रिक्स ही होता है।

A का डिटरमिनेंट	1
प्रदर्शन परिशुद्धता	14 significant digits
तत्समक जाँच	A · A^-1 = I

3x3 मैट्रिक्स इन्वर्स कैलकुलेटर

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