3x3 मैट्रिक्स डिटरमिनेंट कैलकुलेटर क्या है?
यह टूल किसी 3x3 मैट्रिक्स A की नौ वास्तविक संख्याओं से उसका डिटरमिनेंट निकालता है, और साथ ही डिटरमिनेंट का व्युत्क्रम (\(1/\det A\)) भी बताता है। डिटरमिनेंट एक ऐसी संख्या है जो यह बताती है कि मैट्रिक्स व्युत्क्रमणीय (invertible) है या नहीं: यदि डिटरमिनेंट शून्य नहीं है तो मैट्रिक्स का व्युत्क्रम मौजूद होता है, जबकि शून्य डिटरमिनेंट का मतलब है कि मैट्रिक्स सिंगुलर (व्युत्क्रम-रहित) है।
इसका उपयोग कैसे करें
दिए गए ग्रिड की हर कोशिका में संबंधित संख्या भरें, जहाँ a-पंक्ति-स्तंभ उस पंक्ति और स्तंभ के तत्व को दर्शाता है। हर कोशिका में कोई भी वास्तविक संख्या (धनात्मक, ऋणात्मक या दशमलव) डाली जा सकती है। 'गणना करें' दबाते ही मुख्य परिणाम के रूप में \(\det A\) और उसके नीचे \(1/\det A\) दिखाई देगा। यदि डिटरमिनेंट शून्य हो, तो व्युत्क्रम को 'अपरिभाषित' दिखाया जाता है।
सूत्र की व्याख्या
पहली पंक्ति के अनुदिश कोफैक्टर (लाप्लास) विस्तार का उपयोग करते हुए:
$$\det A = a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}) - a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})$$।
यह सारस के नियम (rule of Sarrus) के बराबर है, जिसमें बाएँ-से-दाएँ की तीन विकर्ण गुणनफलों को जोड़ा जाता है और दाएँ-से-बाएँ की तीन विकर्ण गुणनफलों को घटाया जाता है। यह परिणाम मैट्रिक्स A द्वारा दर्शाए गए रैखिक रूपांतरण के चिह्नित आयतन-स्केलिंग गुणक के बराबर होता है; ऋणात्मक मान यह दर्शाता है कि रूपांतरण दिशा (orientation) को उलट देता है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लें \(A = [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,10]]\): $$\det A = 1(5\cdot 10 - 6\cdot 8) - 2(4\cdot 10 - 6\cdot 7) + 3(4\cdot 8 - 5\cdot 7) = 1(2) - 2(-2) + 3(-3) = 2 + 4 - 9 = -3$$। व्युत्क्रम \(1/(-3) = -0.3333\ldots\) है। चूँकि \(\det A\) शून्य नहीं है, इसलिए यह मैट्रिक्स व्युत्क्रमणीय है।
अधिक कार्य किए गए उदाहरण
प्रत्येक उदाहरण पहली पंक्ति के साथ कोफ़ैक्टर विस्तार का उपयोग करता है:
$$\det A = a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}) - a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})$$उदाहरण 1 — एक विलक्षण मैट्रिक्स (det = 0)
यहाँ तीसरी पंक्ति पहली दो पंक्तियों का बिल्कुल योग है, इसलिए मैट्रिक्स विलक्षण है।
$$A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 5 & 7 & 9\end{pmatrix}$$पहली पंक्ति के साथ विस्तार:
- \(1\,(5\cdot 9 - 6\cdot 7) = 1\,(45-42) = 3\)
- \(-\,2\,(4\cdot 9 - 6\cdot 5) = -2\,(36-30) = -12\)
- \(+\,3\,(4\cdot 7 - 5\cdot 5) = 3\,(28-25) = 9\)
योग: \(3 - 12 + 9 = \) 0। क्योंकि \(\det A = 0\), मैट्रिक्स विलक्षण है और व्युत्क्रम \(1/\det A\) अपरिभाषित है (कोई व्युत्क्रम मौजूद नहीं है)।
उदाहरण 2 — ऋणात्मक और दशमलव प्रविष्टियाँ
$$A=\begin{pmatrix}2 & -1 & 0.5\\ -3 & 4 & 1\\ 0 & 2 & -2\end{pmatrix}$$पहली पंक्ति के साथ विस्तार:
- \(2\,(4\cdot(-2) - 1\cdot 2) = 2\,(-8-2) = 2\,(-10) = -20\)
- \(-\,(-1)\,((-3)\cdot(-2) - 1\cdot 0) = +1\,(6-0) = 6\)
- \(+\,0.5\,((-3)\cdot 2 - 4\cdot 0) = 0.5\,(-6-0) = -3\)
योग: \(-20 + 6 - 3 = \) -17। व्युत्क्रम है \(1/\det A = -1/17 \approx -0.0588\)।
उदाहरण 3 — ऊपरी-त्रिकोणीय मैट्रिक्स (det = विकर्ण का गुणनफल)
$$A=\begin{pmatrix}3 & 5 & -2\\ 0 & 4 & 7\\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix}$$पहली पंक्ति के साथ विस्तार (ध्यान दें कि निचले-बाएं में शून्य विकर्ण-पश्च कोफ़ैक्टर को समाप्त करते हैं):
- \(3\,(4\cdot 2 - 7\cdot 0) = 3\,(8) = 24\)
- \(-\,5\,(0\cdot 2 - 7\cdot 0) = -5\,(0) = 0\)
- \(+\,(-2)\,(0\cdot 0 - 4\cdot 0) = -2\,(0) = 0\)
योग: \(24 + 0 + 0 = \) 24, जो विकर्ण प्रविष्टियों के गुणनफल के बराबर है \(3\cdot 4\cdot 2 = 24\)। किसी भी त्रिकोणीय मैट्रिक्स के लिए सारणिक विकर्ण का गुणनफल है।
मुख्य शब्द समझाए गए
- सारणिक (\(\det A\) या \(|A|\))
- एक वर्ग मैट्रिक्स से गणना की गई एकल अदिश जो यह कूटबद्ध करती है कि मैट्रिक्स व्युत्क्रमणीय है या नहीं और यह आयतन को कैसे स्केल करता है। 3×3 मैट्रिक्स के लिए यह कोफ़ैक्टर विस्तार द्वारा पाया जाता है।
- लघुकारक (\(M_{ij}\))
- पंक्ति \(i\) और स्तंभ \(j\) को हटाने के बाद बचे हुए छोटे मैट्रिक्स का सारणिक। 3×3 मैट्रिक्स के लिए प्रत्येक लघुकारक 2×2 सारणिक है।
- कोफ़ैक्टर (\(C_{ij}\))
- एक हस्ताक्षरित लघुकारक: \(C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}\)। शतरंज की बिसात हस्ताक्षर पैटर्न है \(\begin{smallmatrix}+&-&+\\-&+&-\\+&-&+\end{smallmatrix}\)।
- लाप्लास / कोफ़ैक्टर विस्तार
- एक विधि जो सारणिक को एक चयनित पंक्ति या स्तंभ में प्रत्येक प्रविष्टि और उसके कोफ़ैक्टर के गुणनफल के योग के रूप में गणना करती है: \(\det A = \sum_j a_{ij}C_{ij}\)। शून्य वाली पंक्ति या स्तंभ चुनने से काम कम हो जाता है।
- सेरस नियम
- केवल 3×3 मैट्रिक्स के लिए एक शॉर्टकट: तीन बाएँ-से-दाएँ विकर्ण गुणनफल जोड़ें और तीन दाएँ-से-बाएँ विकर्ण गुणनफल घटाएं। यह कोफ़ैक्टर विस्तार के समान परिणाम देता है।
- विलक्षण मैट्रिक्स
- \(\det A = 0\) वाली एक मैट्रिक्स; इसका कोई व्युत्क्रम नहीं है क्योंकि पंक्तियाँ (और स्तंभ) रैखिकतः निर्भर हैं।
- व्युत्क्रमणीय (गैर-विलक्षण) मैट्रिक्स
- \(\det A \neq 0\) वाली एक मैट्रिक्स; इसका एक अद्वितीय व्युत्क्रम \(A^{-1}\) है।
- सहायक (सहलग्न)
- कोफ़ैक्टर मैट्रिक्स का परिवर्त। यह व्युत्क्रम सूत्र \(A^{-1} = \frac{1}{\det A}\,\operatorname{adj}(A)\) में दिखाई देता है।
- रैखिक निर्भरता
- जब एक पंक्ति (या स्तंभ) को अन्य का संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है। रैखिक निर्भरता \(\det A = 0\) को बाध्य करती है और इसका अर्थ है कि मैट्रिक्स 3D स्थान को निम्न-आयामी समुच्चय पर मानचित्रित करता है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
डिटरमिनेंट शून्य होने का क्या अर्थ है? इसका मतलब है कि मैट्रिक्स सिंगुलर है और इसका कोई व्युत्क्रम नहीं है; इसकी पंक्तियाँ या स्तंभ रैखिक रूप से आश्रित (linearly dependent) हैं।
क्या डिटरमिनेंट ऋणात्मक हो सकता है? हाँ। ऋणात्मक डिटरमिनेंट का मतलब केवल इतना है कि संबंधित रूपांतरण दिशा को उलट देता है; इसका निरपेक्ष मान फिर भी आयतन-स्केलिंग गुणक देता है।
\(1/\det A\) क्यों दिखाया जाता है? व्युत्क्रम, मैट्रिक्स के बंद-रूप व्युत्क्रम (adjugate को \(\det A\) से भाग देने) में एक अदिश गुणक के रूप में प्रकट होता है, इसलिए यह एक उपयोगी जानकारी देने वाला मान है।
