Что такое калькулятор определителя матрицы 3×3?
Этот инструмент вычисляет определитель матрицы A размером 3×3 по девяти её элементам, а также выводит величину, обратную определителю (\(1/\det A\)). Определитель — это одно число, которое показывает, обратима ли матрица: ненулевой определитель означает, что у матрицы есть обратная, а нулевой указывает на вырожденную (необратимую) матрицу.
Как пользоваться
Введите каждый из девяти элементов в соответствующую ячейку сетки, где запись a-строка-столбец обозначает элемент в этой строке и этом столбце. В любую ячейку можно вписать любое действительное число — положительное, отрицательное или дробное. Нажмите «Вычислить», чтобы увидеть \(\det A\) как основной результат, а под ним — значение \(1/\det A\). Если определитель равен нулю, обратная величина отображается как неопределённая.
Разбор формулы
Воспользуемся разложением по первой строке (разложение Лапласа по минорам):
$$\det A = a_{11}(a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}) - a_{12}(a_{21}a_{33} - a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32} - a_{22}a_{31})$$
Это то же самое, что и правило Саррюса: складываются три произведения по диагоналям слева направо и вычитаются три произведения по диагоналям справа налево. Результат равен коэффициенту изменения объёма (со знаком) при линейном преобразовании, заданном матрицей A; отрицательное значение означает, что преобразование меняет ориентацию на противоположную.
Пример с решением
Для \(A = [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,10]]\): $$\det A = 1(5\cdot 10 - 6\cdot 8) - 2(4\cdot 10 - 6\cdot 7) + 3(4\cdot 8 - 5\cdot 7) = 1(2) - 2(-2) + 3(-3) = 2 + 4 - 9 = -3$$ Обратная величина равна \(1/(-3) = -0{,}3333\ldots\) Поскольку \(\det A\) не равен нулю, матрица обратима.
Частые вопросы
Что означает нулевой определитель? Матрица вырожденная и не имеет обратной; её строки или столбцы линейно зависимы.
Может ли определитель быть отрицательным? Да. Отрицательный определитель просто означает, что соответствующее преобразование меняет ориентацию; его абсолютная величина по-прежнему задаёт коэффициент изменения объёма.
Зачем показывать \(1/\det A\)? Обратная величина входит как скалярный множитель в формулу обратной матрицы (присоединённая матрица, делённая на \(\det A\)), поэтому это удобное справочное значение.
Больше разобранных примеров
Каждый пример использует разложение по минорам вдоль первой строки:
$$\det A = a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}) - a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})$$Пример 1 — сингулярная матрица (det = 0)
Здесь третья строка точно равна сумме первых двух строк, поэтому матрица является сингулярной.
$$A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 5 & 7 & 9\end{pmatrix}$$Разложение по первой строке:
- \(1\,(5\cdot 9 - 6\cdot 7) = 1\,(45-42) = 3\)
- \(-\,2\,(4\cdot 9 - 6\cdot 5) = -2\,(36-30) = -12\)
- \(+\,3\,(4\cdot 7 - 5\cdot 5) = 3\,(28-25) = 9\)
Суммируя: \(3 - 12 + 9 = \) 0. Поскольку \(\det A = 0\), матрица является сингулярной и обратная величина \(1/\det A\) является неопределённой (обратной матрицы не существует).
Пример 2 — отрицательные и десятичные элементы
$$A=\begin{pmatrix}2 & -1 & 0.5\\ -3 & 4 & 1\\ 0 & 2 & -2\end{pmatrix}$$Разложение по первой строке:
- \(2\,(4\cdot(-2) - 1\cdot 2) = 2\,(-8-2) = 2\,(-10) = -20\)
- \(-\,(-1)\,((-3)\cdot(-2) - 1\cdot 0) = +1\,(6-0) = 6\)
- \(+\,0.5\,((-3)\cdot 2 - 4\cdot 0) = 0.5\,(-6-0) = -3\)
Суммируя: \(-20 + 6 - 3 = \) -17. Обратная величина равна \(1/\det A = -1/17 \approx -0.0588\).
Пример 3 — верхняя треугольная матрица (det = произведение диагональных элементов)
$$A=\begin{pmatrix}3 & 5 & -2\\ 0 & 4 & 7\\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix}$$Разложение по первой строке (заметьте, что нули в левом нижнем углу делают внедиагональные дополняющие миноры равными нулю):
- \(3\,(4\cdot 2 - 7\cdot 0) = 3\,(8) = 24\)
- \(-\,5\,(0\cdot 2 - 7\cdot 0) = -5\,(0) = 0\)
- \(+\,(-2)\,(0\cdot 0 - 4\cdot 0) = -2\,(0) = 0\)
Суммируя: \(24 + 0 + 0 = \) 24, что равно произведению диагональных элементов \(3\cdot 4\cdot 2 = 24\). Для любой треугольной матрицы определитель равен просто произведению диагональных элементов.
Ключевые термины объяснены
- Определитель (\(\det A\) или \(|A|\))
- Одно скалярное значение, вычисляемое из квадратной матрицы, которое показывает, является ли матрица обратимой и как она масштабирует объём. Для матрицы 3×3 он находится разложением по минорам.
- Минор (\(M_{ij}\))
- Определитель меньшей матрицы, остающейся после удаления строки \(i\) и столбца \(j\). Для матрицы 3×3 каждый минор является определителем 2×2.
- Дополняющий минор (кофактор) (\(C_{ij}\))
- Знакопеременный минор: \(C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}\). Шахматный паттерн знаков: \(\begin{smallmatrix}+&-&+\\-&+&-\\+&-&+\end{smallmatrix}\).
- Разложение Лапласа / разложение по дополняющим минорам
- Метод, который вычисляет определитель как сумму каждого элемента в выбранной строке или столбце, умноженного на его дополняющий минор: \(\det A = \sum_j a_{ij}C_{ij}\). Выбор строки или столбца с нулями уменьшает объём вычислений.
- Правило Саррюса
- Ярлык для матриц 3×3 только: сложите три произведения диагоналей слева направо и вычтите три произведения диагоналей справа налево. Это даёт тот же результат, что и разложение по дополняющим минорам.
- Сингулярная матрица
- Матрица с \(\det A = 0\); она не имеет обратной матрицы, потому что строки (и столбцы) линейно зависимы.
- Обратимая (неsingулярная) матрица
- Матрица с \(\det A \neq 0\); она имеет единственную обратную матрицу \(A^{-1}\).
- Присоединённая (союзная) матрица
- Транспоза матрицы дополняющих миноров. Она появляется в формуле обратной матрицы \(A^{-1} = \frac{1}{\det A}\,\operatorname{adj}(A)\).
- Линейная зависимость
- Когда одна строка (или столбец) может быть представлена как комбинация других. Линейная зависимость влечёт \(\det A = 0\) и означает, что матрица отображает трёхмерное пространство на множество меньшей размерности.
