Что такое мультипликативное обратное число?
Мультипликативное обратное числа — это значение, на которое нужно умножить исходное число, чтобы получить единицу. Для обычного вещественного числа \(a\) таким обратным служит просто обратная дробь \(1/a\): например, обратным к 4 будет 0,25, ведь \(4 \times 0{,}25 = 1\). У нуля обратного числа не существует — ни одно число, умноженное на ноль, не даёт единицу.
Обратное по модулю
В модульной арифметике мультипликативным обратным числа \(a\) (по модулю \(m\)) называют целое \(x\) в диапазоне от 0 до \(m-1\), для которого $$\text{Number (a)} \cdot a^{-1} \equiv 1 \pmod{\text{Modulus (m)}}$$ Эта операция постоянно встречается в теории чисел и криптографии (RSA, хеширование, помехоустойчивые коды). Обратное по модулю существует только тогда, когда \(a\) и \(m\) взаимно просты, то есть \(\gcd(a, m) = 1\). Калькулятор находит его с помощью расширенного алгоритма Евклида.
Как пользоваться калькулятором
Введите число \(a\). Оставьте модуль равным 0 (или пустым), чтобы получить обычную обратную дробь \(1/a\). Чтобы вычислить обратное по модулю, укажите модуль \(m\) больше 1: калькулятор приведёт \(a\) по модулю \(m\) и вернёт обратное значение либо сообщит, что его не существует, если \(a\) и \(m\) имеют общий делитель.
Разбор примера
Найдём обратное к 3 по модулю 11. Нам нужно такое \(x\), что \(3x \equiv 1 \pmod{11}\). Проверим \(x = 4\): $$3 \times 4 = 12 = 11 + 1 \equiv 1 \pmod{11}$$ Значит, обратное по модулю равно 4. А в виде обратной дроби обратное к 3 — это \(1/3 \approx 0{,}333333\).
Частые вопросы
Почему у нуля нет обратного числа? Потому что любое число, умноженное на 0, даёт 0, но никак не 1.
Когда обратное по модулю не существует? Когда \(\gcd(a, m) \neq 1\). Например, у 4 нет обратного по модулю 8, ведь у них общий делитель 4.
Можно ли использовать отрицательное число для обратного по модулю? Да; сначала оно приводится к диапазону от 0 до \(m-1\), а затем вычисляется обратное.
