Nghịch đảo của một số là gì?
Nghịch đảo (phép nhân) của một số là giá trị mà khi nhân với số đó sẽ cho kết quả bằng 1. Với một số thực thông thường a, nghịch đảo của nó chính là số nghịch đảo \(1/a\) — ví dụ, nghịch đảo của 4 là 0,25 vì \(4 \times 0{,}25 = 1\). Riêng số 0 không có nghịch đảo, bởi không có số nào nhân với 0 lại bằng 1.
Nghịch đảo modulo
Trong số học modulo, nghịch đảo (phép nhân) của a theo modulo m là số nguyên x nằm trong khoảng từ 0 đến m−1 sao cho \(a \cdot x \equiv 1 \pmod{m}\). Khái niệm này xuất hiện rất thường xuyên trong lý thuyết số và mật mã học (RSA, hàm băm, mã sửa lỗi). Nghịch đảo modulo chỉ tồn tại khi a và m nguyên tố cùng nhau — tức là ƯCLN(a, m) = 1. Công cụ này tìm nghịch đảo modulo bằng thuật toán Euclid mở rộng.
Cách sử dụng máy tính
Nhập số a của bạn. Để tính số nghịch đảo thông thường \(1/a\), hãy để ô modulo bằng 0 (hoặc để trống). Để tính nghịch đảo modulo, hãy nhập một modulo m lớn hơn 1; máy tính sẽ rút gọn a theo modulo m rồi trả về nghịch đảo, hoặc thông báo rằng không tồn tại nghịch đảo nếu a và m có ước chung.
Ví dụ minh họa
Tìm nghịch đảo của 3 theo modulo 11. Ta cần tìm x sao cho \(3x \equiv 1 \pmod{11}\). Thử với x = 4 ta được $$3 \times 4 = 12 = 11 + 1 \equiv 1 \pmod{11}.$$ Vậy nghịch đảo modulo là 4. Còn với tư cách là số nghịch đảo, nghịch đảo của 3 là \(1/3 \approx 0{,}333333\).
Câu hỏi thường gặp
Vì sao số 0 không có nghịch đảo? Vì bất kỳ số nào nhân với 0 cũng bằng 0, không bao giờ bằng 1.
Khi nào nghịch đảo modulo không tồn tại? Khi ƯCLN(a, m) ≠ 1 — chẳng hạn, 4 không có nghịch đảo theo modulo 8 vì chúng có chung ước số 4.
Tôi có thể dùng số âm để tính nghịch đảo modulo không? Có; số âm sẽ được rút gọn về khoảng từ 0 đến m−1 trước khi tìm nghịch đảo.
