Phương pháp FOIL là gì?
FOIL là cách ghi nhớ thứ tự khi nhân hai nhị thức: First (đầu), Outer (ngoài), Inner (trong), Last (cuối). Quy tắc này đảm bảo bạn nhân từng hạng tử của nhị thức thứ nhất với từng hạng tử của nhị thức thứ hai mà không bỏ sót. Máy tính nhận bốn số a, b, c và d từ hai nhị thức \((a + b)\) và \((c + d)\), rồi hiển thị từng tích thành phần cùng kết quả đã khai triển hoàn chỉnh.
Cách sử dụng
Nhập hai hạng tử của mỗi nhị thức. Ví dụ khi khai triển \((2x + 3)(x - 4)\), bạn đặt \(a = 2\), \(b = 3\), \(c = 1\), \(d = -4\). Máy tính coi a và c là hệ số của x, nên kết quả được trả về dưới dạng tam thức bậc hai: $$\text{a}\,\text{c}\cdot x^{2} + (\text{a}\,\text{d} + \text{b}\,\text{c})\cdot x + \text{b}\,\text{d}$$ Nếu chỉ nhân các số thuần túy, bạn chỉ cần đọc bốn tích F/O/I/L rồi cộng chúng lại.
Giải thích công thức
Theo tính chất phân phối, $$\left(\text{a}x + \text{b}\right)\left(\text{c}x + \text{d}\right) = \text{a}\,\text{c}\,x^{2} + \left(\text{a}\,\text{d} + \text{b}\,\text{c}\right)x + \text{b}\,\text{d}$$ Mỗi cặp chữ tương ứng với một bước trong FOIL: First = \(\text{a}\text{c}\), Outer = \(\text{a}\text{d}\), Inner = \(\text{b}\text{c}\), Last = \(\text{b}\text{d}\). Hai tích Outer và Inner chính là các hạng tử "ở giữa" và thường được gộp lại với nhau.
Ví dụ minh họa
Khai triển \((2x + 3)(x + 4)\): \(F = 2\cdot 1 = 2\), \(O = 2\cdot 4 = 8\), \(I = 3\cdot 1 = 3\), \(L = 3\cdot 4 = 12\). Gộp các hạng tử ở giữa: \(8 + 3 = 11\). Kết quả là $$2x^{2} + 11x + 12$$
Thêm các ví dụ đã giải
Mỗi ví dụ sử dụng công thức FOIL \((ax+b)(cx+d)=ac\,x^2+(ad+bc)x+bd\). Theo dõi cách các dấu đi qua mỗi tích.
Ví dụ 1: Một số hạng âm — \((x-5)(x+2)\)
Ở đây \(a=1,\ b=-5,\ c=1,\ d=2\).
- Số hạng đầu tiên: \(x\cdot x = x^2\)
- Số hạng ngoài: \(x\cdot 2 = 2x\)
- Số hạng trong: \(-5\cdot x = -5x\)
- Số hạng cuối cùng: \(-5\cdot 2 = -10\)
Kết hợp các số hạng giống nhau ở giữa \(2x-5x=-3x\):
$$ (x-5)(x+2) = x^2 - 3x - 10 $$
Bạn có thể xác nhận tam thức \(x^2-3x-10\) phân tích lại thành các nhị thức này bằng máy tính phân tích hệ số.
Ví dụ 2: Hiệu của các bình phương — \((x+3)(x-3)\)
Ở đây \(a=1,\ b=3,\ c=1,\ d=-3\).
- Số hạng đầu tiên: \(x\cdot x = x^2\)
- Số hạng ngoài: \(x\cdot(-3) = -3x\)
- Số hạng trong: \(3\cdot x = 3x\)
- Số hạng cuối cùng: \(3\cdot(-3) = -9\)
Các số hạng ngoài và trong bị triệt tiêu: \(-3x+3x=0\), để lại
$$ (x+3)(x-3) = x^2 - 9 $$
Điều này minh họa quy tắc hiệu của các bình phương \((x+n)(x-n)=x^2-n^2\).
Ví dụ 3: Bình phương hoàn hảo — \((2x+1)^2\)
Viết lại thành \((2x+1)(2x+1)\), vì vậy \(a=2,\ b=1,\ c=2,\ d=1\).
- Số hạng đầu tiên: \(2x\cdot 2x = 4x^2\)
- Số hạng ngoài: \(2x\cdot 1 = 2x\)
- Số hạng trong: \(1\cdot 2x = 2x\)
- Số hạng cuối cùng: \(1\cdot 1 = 1\)
Kết hợp \(2x+2x=4x\):
$$ (2x+1)^2 = 4x^2 + 4x + 1 $$
Điều này phù hợp với quy tắc bình phương hoàn hảo \((mx+n)^2 = m^2x^2 + 2mnx + n^2\).
Cách sử dụng FOIL từng bước
FOIL là một cách có thứ tự để áp dụng tính chất phân phối cho hai nhị thức \((ax+b)(cx+d)\). Các chữ cái đại diện cho First (đầu tiên), Outer (ngoài), Inner (trong), Last (cuối cùng) — bốn cặp số hạng bạn nhân.
- Nhân các số hạng đầu tiên. Nhân số hạng đầu tiên của mỗi nhị thức: \(ax\cdot cx = ac\,x^2\). Điều này cho ta số hạng bình phương.
- Nhân các số hạng ngoài. Nhân hai số hạng ở phía ngoài của biểu thức: \(ax\cdot d = ad\,x\).
- Nhân các số hạng trong. Nhân hai số hạng ở phía trong: \(b\cdot cx = bc\,x\).
- Nhân các số hạng cuối cùng. Nhân số hạng cuối cùng của mỗi nhị thức: \(b\cdot d = bd\). Đây là số hạng hằng số.
- Kết hợp các số hạng giống nhau ở giữa. Các tích ngoài và trong đều chứa \(x\), vì vậy hãy cộng chúng: \(ad\,x + bc\,x = (ad+bc)x\). Chú ý các dấu ở đây.
- Viết kết quả dưới dạng \(ax^2+bx+c\). Lắp ráp ba phần theo thứ tự tiêu chuẩn: $$ ac\,x^2 + (ad+bc)x + bd. $$
Mẹo: nếu hai nhị thức giống nhau (bình phương hoàn hảo) hoặc là các liên hợp như \((x+n)(x-n)\), các số hạng ở giữa sẽ tăng gấp đôi hoặc bị triệt tiêu — một kiểm tra nhanh rằng bạn đã kết hợp chúng một cách chính xác.
Các thuật ngữ chính
- Nhị thức
- Một đa thức có chính xác hai số hạng nối với nhau bằng dấu cộng hoặc trừ, chẳng hạn như \(x+3\) hoặc \(2x-5\).
- Tam thức
- Một đa thức có chính xác ba số hạng, chẳng hạn như \(x^2-3x-10\). Nhân hai nhị thức thường tạo ra một tam thức.
- Hệ số
- Nhân tử số học nhân với một biến trong một số hạng. Trong \(2x\) hệ số là \(2\); một số hạng như \(x^2\) có hệ số hiểu rõ là \(1\).
- Số hạng
- Một số duy nhất, biến số, hoặc tích của các số và biến được tách biệt với các số khác bằng \(+\) hoặc \(-\). Trong \(x^2-3x-10\) các số hạng là \(x^2\), \(-3x\), và \(-10\).
- FOIL
- Một ký pháp ghi nhớ — First (đầu tiên), Outer (ngoài), Inner (trong), Last (cuối cùng) — cho bốn tích được hình thành khi nhân hai nhị thức. Nó là trường hợp đặc biệt của tính chất phân phối.
- Các số hạng giống nhau
- Các số hạng có cùng biến được nâng lên cùng một lũy thừa, vì vậy chúng có thể được cộng hoặc trừ. Các tích ngoài và trong \(ad\,x\) và \(bc\,x\) là các số hạng giống nhau và kết hợp thành \((ad+bc)x\).
- Tính chất phân phối
- Quy tắc \(p(q+r)=pq+pr\). FOIL áp dụng nó hai lần để mọi số hạng trong nhị thức đầu tiên nhân với mọi số hạng trong nhị thức thứ hai.
Câu hỏi thường gặp
Tôi có thể dùng số âm không? Hoàn toàn được — chỉ cần thêm dấu trừ, ví dụ \(d = -4\) cho biểu thức \((x - 4)\).
Có dùng được với số thường không? Chắc chắn rồi. Đặt các hệ số bằng 1 (\(a = 1\), \(c = 1\)), khi đó bảng F/O/I/L cho bạn bốn tích; tổng của chúng chính là đáp án.
Nếu biểu thức không có x thì sao? Khi đó hãy đặt \(a = 1\) và \(c = 1\); hạng tử \(x^{2}\) trở thành 1 và bạn có thể đọc kết quả từ các hạng tử đã được gộp lại.
