Số Stirling Loại Một Là Gì?
Số Stirling loại một có dấu, ký hiệu \(s(n,k)\), là các hệ số xuất hiện khi bạn khai triển giai thừa giảm \(x(x-1)(x-2)\dots(x-n+1)\) thành các lũy thừa thông thường của \(x\). Giá trị tuyệt đối của chúng, \(c(n,k) = |s(n,k)|\), đếm số hoán vị của \(n\) phần tử mà phân tích được thành đúng \(k\) chu trình rời nhau. Hai đại lượng này liên hệ với nhau qua quy tắc dấu \(s(n,k) = (-1)^{n-k} c(n,k)\). Công cụ này trả về giá trị có dấu, đúng theo quy ước hệ số của giai thừa giảm.
Cách Sử Dụng
Nhập hai số nguyên không âm: \(n\) (tham số kích thước) và \(k\) (số chu trình, cũng chính là chỉ số lũy thừa). Nhấn tính toán và công cụ sẽ cho ra \(s(n,k)\). Nếu \(k\) lớn hơn \(n\) thì kết quả bằng 0; \(s(n,n)\) luôn bằng 1; và theo định nghĩa, \(s(0,0)\) bằng 1.
Giải Thích Công Thức
Chúng ta xây dựng một bảng quy hoạch động nhỏ dựa trên công thức truy hồi
$$s(n+1,k) = s(n,k-1) - n\, s(n,k)$$bắt đầu từ \(s(0,0)=1\), với \(s(n,0)=0\) khi \(n>0\) và \(s(0,k)=0\) khi \(k>0\). Mỗi hàng được tính từ hàng trước đó, nên không cần đến một bảng tra cứu lớn. Chính số hạng âm trong công thức truy hồi đã tạo ra các dấu đan xen.
Ví Dụ Minh Họa
Hãy tính \(s(5,2)\). Các số đếm chu trình không dấu của hàng 5 là \(c(5,1)=24\), \(c(5,2)=50\), \(c(5,3)=35\), \(c(5,4)=10\), \(c(5,5)=1\). Dấu là \((-1)^{5-2} = -1\), vậy nên \(s(5,2) = -50\). Kiểm tra lại:
$$x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) = x^5 - 10x^4 + 35x^3 - 50x^2 + 24x$$và đúng là hệ số của \(x^2\) bằng \(-50\).
Câu Hỏi Thường Gặp
Tại sao kết quả có thể âm? Vì đây là phiên bản có dấu; hệ số của \(x^k\) trong giai thừa giảm đổi dấu luân phiên theo quy tắc \((-1)^{n-k}\).
Làm sao để lấy số đếm chu trình không dấu? Chỉ cần lấy giá trị tuyệt đối: \(c(n,k) = |s(n,k)|\).
Tổng các giá trị không dấu trên một hàng bằng bao nhiêu? Tổng của \(c(n,k)\) trên tất cả các \(k\) bằng \(n!\) (n giai thừa).
