Tam thức bậc hai chính phương là gì?
Tam thức bậc hai chính phương là biểu thức bậc hai có thể viết được dưới dạng bình phương của một nhị thức, chẳng hạn \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) hoặc \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\). Với tam thức tổng quát \(ax^2 + bx + c\), điều này xảy ra đúng khi biệt thức của nó bằng 0 — nghĩa là khi \(b^2 = 4ac\). Công cụ này nhận ba hệ số và lập tức cho bạn biết tam thức có phải số chính phương hay không, đồng thời đưa ra dạng phân tích thành nhân tử.
Cách sử dụng máy tính
Bạn hãy nhập hệ số a (số đứng trước x²), b (số đứng trước x) và c (hệ số tự do). Công cụ sẽ tính \(b^2\) và \(4ac\), so sánh hai giá trị này rồi báo "Có" hoặc "Không". Nếu là số chính phương, dạng phân tích $$\left(\sqrt{a}\,x \pm \sqrt{c}\right)^{2}$$ sẽ hiện ra, với dấu trùng khớp với dấu của b.
Giải thích công thức
Khai triển \((\sqrt{a}\,x + \sqrt{c})^2\) ta được \(a\,x^2 + 2\sqrt{ac}\,x + c\). Để hệ số ở giữa khớp nhau thì cần \(b = 2\sqrt{ac}\), và bình phương hai vế sẽ cho \(b^2 = 4ac\). Vậy việc kiểm tra $$\text{a}\,x^{2} + \text{b}\,x + \text{c} = \left(\sqrt{\text{a}}\,x \pm \sqrt{\text{c}}\right)^{2} \quad\text{iff}\quad \text{b}^{2} = 4\,\text{a}\,\text{c}$$ chính là kiểm tra xem phương trình bậc hai có nghiệm kép hay không — đây đúng là tính chất đặc trưng của một tam thức chính phương.
Ví dụ minh họa
Xét \(x^2 + 6x + 9\). Ở đây \(a = 1\), \(b = 6\), \(c = 9\). Khi đó \(b^2 = 36\) và $$4ac = 4 \times 1 \times 9 = 36.$$ Vì \(36 = 36\) nên đây là số chính phương. Với \(\sqrt{a} = 1\), \(\sqrt{c} = 3\) và hạng tử ở giữa mang dấu dương, biểu thức phân tích thành \((x + 3)^2\). Kiểm tra lại: $$(x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9. \checkmark$$
Câu hỏi thường gặp
Nếu a hoặc c âm thì sao? Một tam thức chính phương trên tập số thực đòi hỏi a và c không âm để các căn bậc hai có nghĩa. Phép kiểm tra \(b^2 = 4ac\) vẫn phản ánh biệt thức, nhưng dạng phân tích nhị thức hiển thị giả định nghiệm là số thực.
Dấu của b có quan trọng không? Chỉ ảnh hưởng đến dạng phân tích: b âm cho \((\sqrt{a}\,x - \sqrt{c})^2\), b dương cho \((\sqrt{a}\,x + \sqrt{c})^2\). Bản thân phép kiểm tra số chính phương dùng \(b^2\) nên dấu không quyết định việc tam thức có thỏa điều kiện hay không.
Vì sao b² phải bằng đúng 4ac? Vì số chính phương có nghiệm kép; mọi giá trị khác của biệt thức đều cho hai nghiệm phân biệt (hoặc vô nghiệm), nên tam thức không thể gộp lại thành một nhị thức bình phương duy nhất.
