完全平方三項式とは？
完全平方三項式とは、\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) や \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) のように、二項式の2乗の形に書き直せる二次式のことです。一般形 \(ax^2 + bx + c\) では、判別式が 0 になるとき、つまり \(b^2 = 4ac\) が成り立つときに限って完全平方になります。この計算機に3つの係数を入力すると、その三項式が完全平方かどうかを瞬時に判定し、さらに因数分解した形まで表示します。
計算機の使い方
係数 a（\(x^2\) の前の数）、b（\(x\) の前の数）、c（定数項）を入力してください。ツールが \(b^2\) と \(4ac\) を計算して両者を比較し、「該当する」か「該当しない」かを表示します。完全平方であれば、因数分解した形 \((\sqrt{a}\,x \pm \sqrt{c})^2\) が表示され、符号は \(b\) の符号に合わせて決まります。
公式の解説
\((\sqrt{a}\,x + \sqrt{c})^2\) を展開すると \(a\,x^2 + 2\sqrt{ac}\,x + c\) になります。中央の係数を一致させるには \(b = 2\sqrt{ac}\) が必要で、両辺を2乗すると \(b^2 = 4ac\) が得られます。つまり \(b^2 = 4ac\) を確認することは、その二次式が重解（2重根）を持つことを確認するのとまったく同じであり、これこそが完全平方三項式の定義となる性質です。
$$\text{a}\,x^{2} + \text{b}\,x + \text{c} = \left(\sqrt{\text{a}}\,x \pm \sqrt{\text{c}}\right)^{2} \quad\text{iff}\quad \text{b}^{2} = 4\,\text{a}\,\text{c}$$
具体例
\(x^2 + 6x + 9\) を考えてみましょう。ここで \(a = 1\)、\(b = 6\)、\(c = 9\) です。すると \(b^2 = 36\)、\(4ac = 4 \times 1 \times 9 = 36\) となります。\(36 = 36\) なので、これは完全平方です。\(\sqrt{a} = 1\)、\(\sqrt{c} = 3\) で中央項が正なので、\((x + 3)^2\) と因数分解できます。検算：\((x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9\) ✓
よくある質問
a や c が負のときは？ 実数の範囲での標準的な完全平方三項式では、平方根が実数になるよう \(a\) と \(c\) は 0 以上である必要があります。\(b^2 = 4ac\) の判定は判別式を確認するだけなので機能しますが、表示される二項式の因数分解は実数解を前提としています。
b の符号は影響しますか？ 影響するのは因数分解した形だけです。\(b\) が負なら \((\sqrt{a}\,x - \sqrt{c})^2\)、\(b\) が正なら \((\sqrt{a}\,x + \sqrt{c})^2\) になります。完全平方かどうかの判定そのものは \(b^2\) を使うため、符号は結果に影響しません。
なぜ b² は 4ac とぴったり一致しなければならないのですか？ 完全平方は重解を持つからです。判別式がそれ以外の値になると、解は2つに分かれる（または実数解を持たない）ため、その三項式は1つの二項式の2乗にまとめることができません。
