什麼是完全平方三項式？
完全平方三項式是指可以寫成「兩項式平方」的二次式，例如 \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)，或 \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)。對於一般的三項式 \(ax^2 + bx + c\)，當它的判別式等於零，也就是 \(b^2 = 4ac\) 時，它恰好就是完全平方式。這個計算器只要輸入三個係數，就能立刻告訴你該三項式是否為完全平方，並給出因式分解的結果。
計算器使用方式
請依序輸入係數 a（\(x^2\) 前面的數字）、b（\(x\) 前面的數字）以及 c（常數項）。工具會自動計算 \(b^2\) 與 \(4ac\)，兩者相互比較後回報「是」或「否」。若為完全平方，畫面會顯示因式分解形式 $$\left(\sqrt{a}\,x \pm \sqrt{c}\right)^2$$ 其中的正負號會與 \(b\) 的正負一致。
公式原理說明
將 \(\left(\sqrt{a}\,x + \sqrt{c}\right)^2\) 展開後可得 \(a\,x^2 + 2\sqrt{ac}\,x + c\)。要讓中間項的係數吻合，必須滿足 \(b = 2\sqrt{ac}\)；兩邊各自平方便得到 $$b^2 = 4ac$$ 因此，檢查 \(b^2 = 4ac\) 與檢查這個二次式是否有「重根（兩個相同的根）」完全等價，而重根正是完全平方三項式的核心特徵。
實例演算
以 \(x^2 + 6x + 9\) 為例，此時 \(a = 1\)、\(b = 6\)、\(c = 9\)。計算得 \(b^2 = 36\)，而 \(4ac = 4 \times 1 \times 9 = 36\)。由於 \(36 = 36\)，所以它是完全平方。再由 \(\sqrt{a} = 1\)、\(\sqrt{c} = 3\)，且中間項為正，因式分解結果為 \((x + 3)^2\)。驗證：$$(x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9 \;\checkmark$$
常見問題
如果 a 或 c 是負數會怎樣？ 標準的實數完全平方三項式要求 \(a\) 與 \(c\) 為非負數，才能讓平方根為實數。\(b^2 = 4ac\) 這項判別式檢驗仍然有效，但所顯示的兩項式因式分解是以實數根為前提。
b 的正負號有沒有影響？ 只會影響因式分解的形式：\(b\) 為負時得到 \(\left(\sqrt{a}\,x - \sqrt{c}\right)^2\)，\(b\) 為正時得到 \(\left(\sqrt{a}\,x + \sqrt{c}\right)^2\)。判斷是否為完全平方時使用的是 \(b^2\)，因此正負號並不影響它是否成立。
為什麼 b² 必須恰好等於 4ac？ 因為完全平方對應的是重根；判別式只要是其他值，就代表有兩個相異實根（或沒有實根），這時三項式便無法收斂成單一個兩項式的平方。
