第一類斯特靈數計算機（完整列表）s(n,k)

輸入計算

結果

Signed Stirling numbers of the first kind, row n = 5

s(5, k) for k = 0 ... 5

帶符號定義：s(n,k) = (-1)^(n-k) c(n,k)

k	s(n, k)
0	0
1	24
2	-50
3	35
4	-10
5	1
帶符號總和	0
絕對值總和（= n!）	120

這個計算機的功能

本工具會根據你輸入的非負整數 n，算出整列的第一類帶符號斯特靈數，記作 $s(n,k)$。它會以表格列出 k = 0, 1, 2, ..., n 的每一個數值，並一併給出該列的帶符號總和與絕對值總和。這裡採用帶符號的定義，因此 $s(n,k)$ 可能為正也可能為負。至於無符號（又稱「循環數」）的版本 $c(n,k) = |s(n,k)|$，則代表把 n 個元素排列成恰好 k 個不相交循環的方法數，兩者的關係為 $$s(n,k) = (-1)^{n-k}\, c(n,k)$$。

公式說明

第一類帶符號斯特靈數，是下降階乘 $(x)_n = x(x-1)(x-2)\cdots(x-n+1) = \sum s(n,k)\, x^k$ 展開後各項的係數。它們滿足遞迴關係 $$s(n,k) = s(n-1,k-1) - (n-1)\,s(n-1,k)$$ 初始條件為 $s(0,0) = 1$、當 $n \ge 1$ 時 $s(n,0) = 0$，而當 $k < 0$ 或 $k > n$ 時 $s(n,k) = 0$。此外，$s(n,n)$ 恆等於 1。

第一類斯特林數的三角表，箭頭表示遞迴關係 — 此遞迴式由上一列的兩個儲存格建構每個元素：$s(n-1,k-1)$ 和 $s(n-1,k)$。

使用方式

輸入一個介於 0 到 25 之間的整數 n 並送出即可。計算機會以動態規劃方式逐列建立，從 n = 0 的 [1] 開始，最後讀出對應 n 的那一列。你可以用帶符號總和（當 $n \ge 2$ 時應為 0）與絕對值總和（應等於 $n!$）來快速驗算結果是否正確。

實例演算（n = 5）

逐列建立過程如下：n=1 得 [0, 1]；n=2 得 [0, -1, 1]；n=3 得 [0, 2, -3, 1]；n=4 得 [0, -6, 11, -6, 1]；n=5 得 [0, 24, -50, 35, -10, 1]。驗算：$$|0|+|24|+|50|+|35|+|10|+|1| = 120 = 5!$$ 而帶符號總和 $$0+24-50+35-10+1 = 0$$ 兩者皆吻合。