第一类斯特林数（数表）计算器 | s(n,k) 在线计算

输入计算

结果

Signed Stirling numbers of the first kind, row n = 5

s(5, k) for k = 0 ... 5

带符号约定：s(n,k) = (-1)^(n-k) c(n,k)

k	s(n, k)
0	0
1	24
2	-50
3	35
4	-10
5	1
带符号求和	0
绝对值求和（= n!）	120

这个计算器能做什么

本工具用于计算带符号第一类斯特林数（记作 s(n,k)）的完整一行，n 为你输入的非负整数。它会以数表形式列出 k = 0, 1, 2, ..., n 对应的全部数值，并给出该行的带符号求和与绝对值求和。这里采用带符号约定：s(n,k) 可正可负。其无符号形式（即"循环计数"）c(n,k) = |s(n,k)| 表示把 n 个元素恰好划分为 k 个互不相交循环的排列个数，二者关系为 s(n,k) = (-1)^(n-k) c(n,k)。

计算公式

带符号第一类斯特林数是下降阶乘 (x)_n = x(x-1)(x-2)...(x-n+1) = Σ_k s(n,k) x^k 展开后的系数。它满足递推关系 s(n,k) = s(n-1,k-1) - (n-1)*s(n-1,k)，初始条件为 s(0,0) = 1，当 n ≥ 1 时 s(n,0) = 0，且当 k < 0 或 k > n 时 s(n,k) = 0。需要注意，s(n,n) 恒等于 1。

第一类斯特林数的三角表，箭头表示递推关系 — 该递推式由上一行的两个单元格构建每个元素：s(n-1,k-1) 和 s(n-1,k)。

使用方法

输入一个介于 0 到 25 之间的整数 n 并提交即可。计算器采用动态规划，从 n = 0 时的 [1] 开始逐行递推，最终读取末尾一行的结果。你可以用带符号求和（当 n ≥ 2 时为 0）和绝对值求和（等于 n!）作为快速验算依据。

实例演算（n = 5）

逐行递推过程：n=1 得到 [0, 1]；n=2 得到 [0, -1, 1]；n=3 得到 [0, 2, -3, 1]；n=4 得到 [0, -6, 11, -6, 1]；n=5 得到 [0, 24, -50, 35, -10, 1]。验算：|0|+|24|+|50|+|35|+|10|+|1| = 120 = 5!，而带符号求和 0+24-50+35-10+1 = 0。