这个计算器能做什么
本工具采用双指数（DE）求积法（又称 Tanh-Sinh 法）计算单变量函数 \(f(x)\) 在有限区间 \([a, b]\) 上的定积分。在有限区间上的通用数值积分方法里，双指数法是最可靠的选择之一，尤其擅长处理在端点处发散的被积函数，例如 \(1/\sqrt{x}\) 或 \(\log(x)\)——这类积分恰恰是普通高斯求积或辛普森法的软肋。
使用方法
在 被积函数 f(x) 输入框中用常规数学写法输入表达式，支持运算符 + - * / ^、括号，以及函数 sqrt, exp, log, ln, sin, cos, tan, asin, acos, atan, sinh, cosh, tanh, abs，常数 pi 和 e。填入积分下限 \(a\) 与上限 \(b\)，选择想要达到的有效位数，然后提交。奇异点只允许出现在端点 \(a\) 和 \(b\) 处；除此之外，函数在开区间 \((a, b)\) 上必须解析，且不应为周期函数。
公式原理
首先通过映射 \(x(u) = \frac{(b+a)+(b-a)u}{2}\) 把区间变换到 \([-1, 1]\)。接着用双指数变换 \(u = \tanh\!\left(\frac{\pi}{2}\sinh t\right)\) 对数轴进行拉伸：当 \(t\) 增大时，\(u\) 以超指数速度逼近两端点，而权重 \(g'(t)\) 也以同样的速度迅速趋近于零。由于节点永远不会精确落在 \(a\) 或 \(b\) 上，端点处的奇异性根本不会被真正计算到——它被巧妙地"驯服"了。变换后的积分用步长为 \(h\) 的简单梯形法求和，并不断把 \(h\) 减半，直到结果不再变化为止。
$$\int_{a}^{b} f(x)\,dx \;\approx\; \frac{b-a}{2}\,h\sum_{k} w_k\, f\!\left(x_k\right)$$$$\begin{gathered} \int_{a}^{b} f(x)\,dx \;\approx\; \frac{b-a}{2}\,h\sum_{k} w_k\, f\!\left(x_k\right) \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} a &= \text{Lower limit} \\ b &= \text{Upper limit} \\ x_k &= \tfrac{b+a}{2} + \tfrac{b-a}{2}\tanh\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh(k h)\right) \\ w_k &= \dfrac{\tfrac{\pi}{2}\cosh(k h)}{\cosh^{2}\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh(k h)\right)} \end{aligned} \right. \end{gathered}$$
实例演示
以 \(f(x) = 1/\sqrt{x}\) 在 \([0, 1]\) 上为例，精确值为 \(\left[2\sqrt{x}\right]\) 从 0 到 1 \(= 2\)。一个仅有 7 个节点的粗略 DE 网格（\(h = 0.5\)）就能给出约 \(1.94\) 的结果；继续细化 \(h\)，估计值会逼近 \(2.000000000000000\)。再用一个无奇异性的例子检验：\(f(x) = x^2\) 在 \([0, 1]\) 上，结果为 \(1/3 = 0.3333333333333\)。
常见问题
能处理区间内部的奇异点吗？不能——双指数法只容许奇异点出现在端点。如果在内部某点 \(c\) 处存在奇异性，请把积分拆成 \([a, c]\) 与 \([c, b]\) 两段，分别计算后再相加。
为什么它不适合周期函数？对于光滑的周期被积函数，普通梯形法本身就已经呈指数收敛，因此双指数变量替换反而会拖慢收敛速度。
有效位数设置有什么作用？它决定了判断细化何时停止的相对容差，并据此对显示结果进行相应的四舍五入。
