Bu araç ne işe yarar?
Bu araç, tek değişkenli bir \(f(x)\) fonksiyonunun \([a, b]\) sonlu aralığındaki belirli integralini Çifte Üstel (DE) kuadratür yöntemiyle, diğer adıyla Tanh-Sinh yöntemiyle hesaplar. DE kuadratürü, sonlu aralıklar için en güvenilir genel amaçlı yöntemlerden biridir ve özellikle bir uç noktada sonsuza giden integrand'ları (örneğin \(1/\sqrt{x}\) veya \(\log(x)\)) işlemekte ün yapmıştır; sıradan Gauss veya Simpson kuralları bu durumlarda zorlanır.
Nasıl kullanılır?
İntegrand'ı İntegrand f(x) kutusuna standart matematik söz dizimiyle yazın: + - * / ^, parantezler ve şu fonksiyonlar: sqrt, exp, log, ln, sin, cos, tan, asin, acos, atan, sinh, cosh, tanh, abs ile pi ve e sabitleri. Alt sınır a ile üst sınır b değerlerini girin, kaç anlamlı basamak hedeflemek istediğinizi seçin ve hesaplatın. Tekilliklere yalnızca a ve b uç noktalarında izin verilir; fonksiyon bunun dışında açık aralık \((a, b)\) üzerinde analitik olmalı ve periyodik olmamalıdır.
Formülün açıklaması
Önce aralık, \(x(u) = \tfrac{(b+a)+(b-a)u}{2}\) dönüşümüyle \([-1, 1]\) aralığına haritalanır. Ardından \(u = \tanh\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh t\right)\) şeklindeki DE dönüşümü, t büyüdükçe u'nun uç noktalara süper-üstel hızla yaklaşmasını sağlarken \(g'(t)\) ağırlığı da tam aynı hızla sıfıra çöker. Düğüm noktaları tam olarak a veya b üzerine hiç düşmediğinden, uç noktadaki tekillik aslında hiçbir zaman hesaplanmaz — adeta "evcilleştirilmiş" olur. Dönüştürülmüş integral daha sonra h adımlı basit yamuk kuralıyla toplanır ve sonuç değişmeyi bırakana kadar h yarıya indirilir.
$$\int_{a}^{b} f(x)\,dx \;\approx\; \frac{b-a}{2}\,h\sum_{k} w_k\, f\!\left(x_k\right)$$$$\text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} a &= \text{Lower limit} \\ b &= \text{Upper limit} \\ x_k &= \tfrac{b+a}{2} + \tfrac{b-a}{2}\tanh\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh(k h)\right) \\ w_k &= \dfrac{\tfrac{\pi}{2}\cosh(k h)}{\cosh^{2}\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh(k h)\right)} \end{aligned} \right.$$
Çözümlü örnek
\([0, 1]\) aralığında \(f(x) = 1/\sqrt{x}\) için kesin değer \([2\sqrt{x}]\)'in 0'dan 1'e değeri \(= 2\)'dir. Kaba bir 7 noktalı DE ızgarası (\(h = 0.5\)) zaten yaklaşık \(1.94\) verir; h inceltildikçe tahmin \(2.000000000000000\) değerine yaklaşır. Tekil olmayan bir kontrol olarak \([0, 1]\) aralığında \(f(x) = x^2\) ise \(1/3 = 0.3333333333333\) sonucunu döndürür.
Sıkça sorulan sorular
Aralığın içindeki bir tekilliği işleyebilir mi? Hayır — DE yalnızca uç noktalardaki tekilliklere müsamaha gösterir. c noktasında iç bir tekillik varsa integrali \([a, c]\) ve \([c, b]\) olarak ikiye bölün ve iki sonucu toplayın.
Periyodik fonksiyonlar için neden iyi değildir? Düzgün ve periyodik integrand'larda sade yamuk kuralı zaten üstel hızla yakınsar; bu nedenle DE değişken dönüşümü işi yalnızca yavaşlatır.
Basamak ayarı ne işe yarar? İnceltmenin ne zaman duracağına karar veren bağıl toleransı belirler ve gösterilen değeri buna göre yuvarlar.
