Что считает этот калькулятор
Этот инструмент вычисляет определённый интеграл функции одной переменной \(f(x)\) на конечном отрезке \([a, b]\) с помощью двойной экспоненциальной (DE) квадратуры, которую также называют методом tanh-sinh. DE-квадратура — один из самых надёжных универсальных методов для конечных отрезков. Её главное преимущество в том, что она прекрасно справляется с подынтегральными функциями, которые обращаются в бесконечность на конце отрезка — такими как \(1/\sqrt{x}\) или \(\log(x)\), — где обычные методы Гаусса или Симпсона начинают «сыпаться».
Как пользоваться
Введите подынтегральную функцию в поле Подынтегральная функция f(x), используя привычный математический синтаксис: + - * / ^, скобки и функции sqrt, exp, log, ln, sin, cos, tan, asin, acos, atan, sinh, cosh, tanh, abs, а также константы pi и e. Укажите нижний предел \(a\) и верхний предел \(b\), выберите нужное число значащих цифр и нажмите «Вычислить». Особенности (расходимости) допускаются только на концах \(a\) и \(b\); на открытом интервале \((a, b)\) функция должна быть аналитической и не должна быть периодической.
Как устроена формула
Сначала отрезок отображается на \([-1, 1]\) заменой \(x(u) = \tfrac{(b+a)+(b-a)u}{2}\). Затем DE-преобразование \(u = \tanh\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh t\right)\) «растягивает» прямую так, что с ростом \(t\) значение \(u\) приближается к концам отрезка сверхэкспоненциально быстро, а вес \(g'(t)\) с той же скоростью устремляется к нулю. Поскольку узлы никогда не попадают точно в \(a\) или \(b\), особенность на конце фактически не вычисляется — она оказывается «укрощена». Преобразованный интеграл затем суммируется по простой формуле трапеций с шагом \(h\), и шаг \(h\) уменьшается вдвое до тех пор, пока ответ не перестанет меняться.
$$\int_{a}^{b} f(x)\,dx \;\approx\; \frac{b-a}{2}\,h\sum_{k} w_k\, f\!\left(x_k\right)$$$$\text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} a &= \text{Lower limit} \\ b &= \text{Upper limit} \\ x_k &= \tfrac{b+a}{2} + \tfrac{b-a}{2}\tanh\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh(k h)\right) \\ w_k &= \dfrac{\tfrac{\pi}{2}\cosh(k h)}{\cosh^{2}\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh(k h)\right)} \end{aligned} \right.$$
Разбор примера
Для \(f(x) = 1/\sqrt{x}\) на \([0, 1]\) точное значение равно \(\left[2\sqrt{x}\right]_{0}^{1} = 2\). Грубая сетка DE из 7 узлов (\(h = 0{,}5\)) уже даёт около \(1{,}94\); при уменьшении шага \(h\) оценка выходит на \(2{,}000000000000000\). Контрольный пример без особенности, \(f(x) = x^2\) на \([0, 1]\), возвращает \(1/3 = 0{,}3333333333333\).
Частые вопросы
Справится ли метод с особенностью внутри отрезка? Нет — DE допускает особенности только на концах. Если особенность находится в точке \(c\) внутри отрезка, разбейте интеграл на \([a, c]\) и \([c, b]\) и сложите оба результата.
Почему он плохо подходит для периодических функций? Для гладких периодических функций обычная формула трапеций уже сходится экспоненциально, поэтому замена переменных DE только замедляет расчёт.
На что влияет настройка числа цифр? Она задаёт относительную точность, при которой прекращается измельчение сетки, и определяет округление выводимого значения.
