Что делает этот калькулятор
Инструмент приближённо вычисляет определённый интеграл функции f(x) на конечном отрезке [a, b] тремя классическими составными квадратурными формулами: методом трапеций, методом средних прямоугольников и методом Симпсона. Вместо одного числа калькулятор применяет каждую формулу при числе разбиений 2, 4, 8, 16, … — каждый раз удваивая его вплоть до заданного максимума N — и строит таблицу сходимости. Так вы своими глазами видите, как приближения стабилизируются, и сами оцениваете точность.
Как пользоваться
Введите подынтегральную функцию как математическое выражение от переменной x (например, 4/(1+x^2) или sin(x)*exp(-x)). Поддерживаются операторы + - * / ^ со скобками, а также распространённые функции: sin, cos, tan, exp, log/ln, sqrt, abs и константы pi и e. Задайте нижний предел a и верхний предел b, выберите максимальное число разбиений N (степень двойки) и укажите, сколько знаков отображать. Главный результат — оценка по методу Симпсона при \(n = N\), поскольку он обычно сходится быстрее всех.
Разбор формул
Для n подынтервалов шаг равен \(h = (b - a)/n\), а узлы — \(x_i = a + i\cdot h\). Метод трапеций суммирует значения функции, беря крайние точки с коэффициентом \(1/2\). Метод средних прямоугольников использует значения в серединах каждого подынтервала. Метод Симпсона сочетает их с весами 1, 4, 2, 4, …, 4, 1; он точен для кубических многочленов и даёт погрешность порядка \(h^4\) против \(h^2\) у двух остальных.
$$\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\left[ f(x_0) + 4\sum_{i\,\text{odd}} f(x_i) + 2\sum_{i\,\text{even}} f(x_i) + f(x_N) \right]$$
Разобранный пример
Для \(f(x) = 4/(1+x^2)\) на отрезке [0, 1] точное значение интеграла равно \(\pi = 3{,}14159265\ldots\) При \(n = 4\) и \(h = 0{,}25\) метод трапеций даёт примерно \(3{,}131176\), метод средних прямоугольников — около \(3{,}146801\), а метод Симпсона — около \(3{,}141569\), то есть уже верны пять знаков после запятой. С ростом n все три оценки приближаются к \(\pi\).
Частые вопросы
Почему N должно быть степенью двойки? Удвоение числа разбиений позволяет легко сравнивать соседние строки таблицы и гарантирует чётное число подынтервалов, необходимое для метода Симпсона.
Какие функции выходят за рамки калькулятора? Таблица сходимости предполагает гладкую (аналитическую) непериодическую подынтегральную функцию. Функции с особыми точками внутри [a, b], например \(1/x\) при переходе через ноль, дадут бесконечности или бессмысленный результат.
Что если a равно b или a больше b? Если \(a = b\), интеграл равен 0. Если \(a > b\), результатом будет интеграл по отрезку [b, a] со знаком минус.
