Qué hace esta calculadora
Esta herramienta aproxima la integral definida de una función \(f(x)\) en un intervalo finito \([a, b]\) mediante tres reglas clásicas de cuadratura compuesta: la regla del trapecio, la regla del punto medio y la regla de Simpson. En lugar de devolver un único número, evalúa cada regla con 2, 4, 8, 16... subdivisiones, duplicándolas en cada paso hasta el máximo \(N\) que elijas, y muestra una tabla de convergencia para que veas cómo se estabilizan las estimaciones y juzgues tú mismo la precisión.
Cómo usarla
Introduce el integrando como una expresión matemática en la variable x (por ejemplo, 4/(1+x^2) o sin(x)*exp(-x)). Se admiten los operadores + - * / ^ con paréntesis, además de funciones habituales como sin, cos, tan, exp, log/ln, sqrt y abs, y las constantes pi y e. Define el límite inferior \(a\) y el límite superior \(b\), elige el número máximo de subdivisiones \(N\) (una potencia de dos) y selecciona cuántos dígitos mostrar. La cifra destacada es la estimación de Simpson en \(n = N\), ya que suele converger más rápido.
Las fórmulas explicadas
Para \(n\) subintervalos, el paso es \(h = (b - a)/n\) y los nodos son \(x_i = a + i\,h\). La regla del trapecio suma los valores de la función ponderando los dos extremos por la mitad. La regla del punto medio evalúa el centro de cada subintervalo. La regla de Simpson combina ambas con los pesos 1, 4, 2, 4, ..., 4, 1, es exacta para polinomios cúbicos y tiene un error del orden de \(h^4\) frente al \(h^2\) de las otras dos.
$$\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\left[ f(x_0) + 4\sum_{i\,\text{odd}} f(x_i) + 2\sum_{i\,\text{even}} f(x_i) + f(x_N) \right]$$donde:
$$\left\{ \begin{aligned} f(x) &= \text{f(x)} \\ a &= \text{Lower limit} \\ b &= \text{Upper limit} \\ N &= \text{Subdivisions} \\ h &= \frac{b-a}{N}, \quad x_i = a + i\,h \end{aligned} \right.$$
Ejemplo resuelto
Para \(f(x) = 4/(1+x^2)\) en \([0, 1]\), la integral exacta es \(\pi = 3{,}14159265\ldots\) Con \(n = 4\) y \(h = 0{,}25\), la estimación del trapecio es de unos \(3{,}131176\), la del punto medio de unos \(3{,}146801\) y la de Simpson de unos \(3{,}141569\) — ya con cinco decimales correctos. A medida que aumenta \(n\), las tres se acercan a \(\pi\).
Preguntas frecuentes
¿Por qué N debe ser una potencia de dos? Duplicar las subdivisiones permite comparar fácilmente filas consecutivas y garantiza un número par de subintervalos, necesario para la regla de Simpson.
¿Qué funciones quedan fuera de alcance? La tabla de convergencia presupone un integrando suave (analítico) y no periódico. Las funciones con singularidades dentro de \([a, b]\), como \(1/x\) al pasar por cero, generarán infinitos o resultados sin sentido.
¿Qué ocurre si a es igual a b, o si a es mayor que b? Si \(a = b\), la integral vale 0. Si \(a > b\), el resultado es el valor con signo (negativo) de la integral sobre \([b, a]\).
