Qué hace esta calculadora
Esta herramienta calcula numéricamente la integral definida de una función f(x) sobre toda la recta real, desde menos infinito hasta más infinito, empleando la cuadratura doble exponencial (DE), también conocida como familia tanh-sinh o método de Takahasi-Mori. La cuadratura DE es uno de los esquemas de propósito general más eficientes para integrandos suaves y converge a una velocidad asombrosa: el número de cifras correctas crece casi linealmente con la cantidad de puntos de muestreo.
Cómo usarla
Escribe una expresión matemática para f(x) usando x, los operadores + - * / ^, paréntesis y funciones estándar como exp, log/ln, sin, cos, tan, sqrt, abs y atan. Después elige cuántas cifras significativas deseas (de 6 a 50). Cuanto mayor sea la precisión, más fino será el paso y más amplio el rango de truncamiento. El integrando debe ser analítico sobre la recta real y, sobre todo, debe decaer a medida que x crece; no puede ser periódico ni oscilar sin amortiguarse.
La fórmula, paso a paso
El método DE se basa en la aproximación
$$\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx \;\approx\; h\sum_{k=-N}^{N} f\!\left(x_k\right)\, w_k$$donde
$$\left\{ \begin{aligned} x_k &= \sinh\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh(kh)\right) \\ w_k &= \tfrac{\pi}{2}\cosh(kh)\,\cosh\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh(kh)\right) \\ h,N &= \text{chosen for } \text{digits} \text{ precision} \end{aligned} \right.$$El método DE aplica el cambio de variable \(x = \sinh\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh t\right)\), cuya derivada es \(\phi'(t) = \tfrac{\pi}{2}\cosh t\,\cosh\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh t\right)\). Tras la sustitución, la integral se convierte en la integral de \(f(\phi(t))\,\phi'(t)\) en t. Como \(\phi'(t)\) decae de forma doblemente exponencial cuando \(|t|\) crece, la sencilla regla del trapecio con paso uniforme h, \(I \approx h \cdot \sum f(\phi(kh))\,\phi'(kh)\), resulta extraordinariamente precisa. La calculadora arranca con un paso grueso y luego reduce h a la mitad repetidamente (reaprovechando nodos) hasta que dos estimaciones consecutivas coinciden dentro de la tolerancia solicitada.
Ejemplo resuelto
Para \(f(x) = \dfrac{1}{1+x^2}\) la integral exacta es
$$\left[\arctan x\right]_{-\infty}^{\infty} = \pi \approx 3.14159265358979$$Una suma DE gruesa con paso 0.5 sobre los nodos \(k = -8 \ldots 8\) ya da alrededor de 3.15; al refinar el paso se converge al valor de \(\pi\) con plena precisión. Del mismo modo, \(\exp(-x^2)\) devuelve \(\sqrt{\pi} \approx 1.77245385090552\).
Preguntas frecuentes
¿Por qué aparece «no convergió»? Lo más habitual es que la integral diverja (el integrando no decae, por ejemplo \(f = 1\)) o que la función sea periódica u oscilatoria. La cuadratura DE supone un integrando no periódico y analítico en los extremos.
¿Qué precisión conviene elegir? 15 cifras coinciden con la doble precisión y son un buen valor por defecto. Pedir muchas más cifras de las que admite la doble precisión no mejorará el resultado.
¿Puedo integrar funciones singulares? El método tolera el comportamiento en los extremos porque los nodos más alejados reciben un peso casi nulo, pero los polos interiores sobre el eje real lo harán fallar.
