Bu hesaplayıcı ne işe yarar?
Bu araç, bir f(x) fonksiyonunun tüm reel eksen üzerindeki, yani eksi sonsuzdan artı sonsuza kadar olan belirli integralini Çift Üstel (DE) kuadratür yöntemiyle sayısal olarak hesaplar. Bu yöntem tanh-sinh ailesi ya da Takahasi-Mori yöntemi olarak da bilinir. DE kuadratür, düzgün (smooth) integrand fonksiyonları için en verimli genel amaçlı yöntemlerden biridir ve şaşırtıcı bir hızla yakınsar: doğru basamak sayısı, örnek nokta sayısıyla neredeyse doğrusal olarak artar.
Nasıl kullanılır?
f(x) için x değişkenini, + - * / ^ operatörlerini, parantezleri ve exp, log/ln, sin, cos, tan, sqrt, abs, atan gibi standart fonksiyonları kullanarak bir matematiksel ifade yazın. Ardından kaç anlamlı basamak hassasiyet istediğinizi seçin (6 ile 50 arası). Daha yüksek hassasiyet, daha ince bir adım boyutu ve daha geniş bir kesme aralığı kullanır. İntegrand reel eksen üzerinde analitik olmalı ve x büyüdükçe sıfıra yaklaşmalıdır (decay); sıfıra yaklaşmadan periyodik veya salınımlı olmamalıdır.
Formülün açıklaması
DE yöntemi, \(x = \sinh\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh t\right)\) değişken dönüşümünü uygular; bu dönüşümün türevi \(\phi'(t) = \tfrac{\pi}{2}\cosh t\,\cosh\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh t\right)\) şeklindedir. Yerine koyma işleminden sonra integral, t değişkenine göre \(f(\phi(t))\,\phi'(t)\) ifadesinin integraline dönüşür. \(\phi'(t)\), |t| büyüdükçe çift üstel hızda sıfıra yaklaştığı için, sabit adım h ile uygulanan basit yamuk (trapez) kuralı,
$$I \approx h\cdot\sum f(\phi(kh))\,\phi'(kh)$$son derece yüksek doğruluk kazanır. Hesaplayıcı kaba bir adımla başlar, ardından iki ardışık tahmin istenen tolerans dahilinde örtüşene kadar h adımını tekrar tekrar yarıya indirir (var olan düğümleri yeniden kullanarak).
$$\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx \;\approx\; h\sum_{k=-N}^{N} f\!\left(x_k\right)\, w_k$$$$\begin{gathered} \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx \;\approx\; h\sum_{k=-N}^{N} f\!\left(x_k\right)\, w_k \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} x_k &= \sinh\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh(kh)\right) \\ w_k &= \tfrac{\pi}{2}\cosh(kh)\,\cosh\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh(kh)\right) \\ h,N &= \text{chosen for } \text{digits} \text{ precision} \end{aligned} \right. \end{gathered}$$
Çözümlü örnek
f(x) = 1/(1+x^2) için integralin tam değeri, \([\arctan x]\) ifadesinin eksi sonsuzdan artı sonsuza değeri \(= \pi \approx 3.14159265358979\) olur. k = -8..8 düğümleri üzerinde 0.5 adımlı kaba bir DE toplamı bile yaklaşık 3.15 verir; adımı inceltdikçe sonuç pi sayısının tam hassasiyetli değerine yakınsar. Benzer şekilde exp(-x^2) fonksiyonu \(\sqrt{\pi} \approx 1.77245385090552\) değerini döndürür.
Sıkça sorulan sorular
Neden "yakınsamadı" uyarısı çıkıyor? En sık görülen neden, integralin ıraksamasıdır (integrand sıfıra yaklaşmaz, örneğin f = 1) ya da fonksiyonun periyodik/salınımlı olmasıdır. DE kuadratür, periyodik olmayan ve uç noktalarda analitik olan bir integrand varsayar.
Hangi hassasiyeti seçmeliyim? 15 basamak, çift duyarlıklı (double precision) gösterime karşılık gelir ve iyi bir varsayılan değerdir. Çift duyarlığın desteklediğinden çok daha fazla basamak istemek sonucu iyileştirmez.
Tekil (singular) fonksiyonların integralini alabilir miyim? Uç noktalardaki düğümler neredeyse sıfır ağırlıkla katkıda bulunduğu için yöntem uç nokta davranışlarına toleranslıdır; ancak reel eksen üzerindeki iç kutuplar (poles) yöntemi bozar.
