이중 지수(DE) 구적법: (-∞, ∞) 구간의 적분

계산 입력

f(x) 변수 x, 연산자 + - * / ^, 함수 exp, log, ln, sin, cos, tan, sqrt, abs, atan을 사용하세요. 무한대에서 감쇠해야 하며 비주기적이어야 합니다.

유효숫자 / 정밀도

결과

Integral over (-∞, ∞)

approximate value of ∫ f(x) dx

방법	이중 지수(tanh-sinh 계열) 구적법
변수 변환	x = sinh((π/2) sinh t)
요청한 자릿수
수렴함	No (may diverge or need more levels)

DE 합산이 요청한 허용 오차를 만족하지 못했습니다. 피적분 함수가 무한대에서 감쇠하지 않거나(발산 적분), 주기적/진동하거나, 더 낮은 정밀도가 필요할 수 있습니다. DE 구적법은 대수적으로 감쇠하면서 비주기적이고 끝점에서 해석적인 피적분 함수를 전제로 합니다.

이 계산기의 기능

이 도구는 음의 무한대부터 양의 무한대까지, 실수 전체 구간에서 함수 f(x)의 정적분을 수치적으로 계산합니다. 사용하는 방법은 이중 지수(DE) 구적법으로, tanh-sinh 계열 또는 다카하시-모리(Takahasi-Mori) 방법이라고도 불립니다. DE 구적법은 매끄러운 피적분 함수에 대해 가장 효율적인 범용 적분 기법 중 하나이며, 수렴 속도가 놀라울 만큼 빠릅니다. 정확한 자릿수가 표본점 개수에 거의 비례해 증가하기 때문입니다.

사용 방법

f(x) 자리에 수식을 입력하세요. 변수 x, 연산자 + - * / ^, 괄호, 그리고 exp, log/ln, sin, cos, tan, sqrt, abs, atan 같은 표준 함수를 사용할 수 있습니다. 이어서 원하는 유효숫자 자릿수를 6에서 50 사이에서 선택합니다. 정밀도를 높일수록 더 촘촘한 간격과 더 넓은 절단 범위를 사용합니다. 피적분 함수는 실수 축 위에서 해석적이어야 하며 x가 커질수록 감쇠해야 합니다. 또한 주기적이거나 감쇠 없이 진동하는 함수는 사용할 수 없습니다.

공식 설명

DE 방법은 변수 변환 \(x = \sinh\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh t\right)\)를 적용하며, 그 도함수는 \(\varphi'(t) = \tfrac{\pi}{2}\cosh t\,\cosh\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh t\right)\)입니다. 치환 후 적분은 t에 대한 \(f(\varphi(t))\,\varphi'(t)\)의 적분으로 바뀝니다. \(\varphi'(t)\)가 |t|가 커질수록 이중 지수처럼 감쇠하기 때문에, 균일 간격 h를 사용하는 단순한 사다리꼴 법칙

$$I \approx h \cdot \sum f(\varphi(kh))\,\varphi'(kh)$$

가 매우 정확해집니다. 이 계산기는 거친 간격으로 시작한 뒤, 두 연속 추정값이 요청한 허용 오차 안에서 일치할 때까지 (기존 노드를 재사용하며) h를 반복적으로 절반씩 줄여 나갑니다.

$$\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx \;\approx\; h\sum_{k=-N}^{N} f\!\left(x_k\right)\, w_k$$$$\text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} x_k &= \sinh\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh(kh)\right) \\ w_k &= \tfrac{\pi}{2}\cosh(kh)\,\cosh\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh(kh)\right) \\ h,N &= \text{chosen for } \text{digits} \text{ precision} \end{aligned} \right.$$

가중치 φ'(t)는 이중 지수적으로 감쇠하므로 멀리 떨어진 항은 거의 기여하지 않습니다.

DE 변환은 t의 균일한 격자를 실수 직선에 사상하여 점들을 중심 근처에 집중시킵니다.

예제 풀이

f(x) = 1/(1+x^2)의 경우 정확한 적분값은 음의 무한대부터 양의 무한대까지의 \([\arctan x]\) = \(\pi \approx 3.14159265358979\) 입니다. 간격 0.5에 노드 \(k = -8..8\)을 사용한 거친 DE 합산만으로도 이미 약 3.15가 나오며, 간격을 더 세밀하게 줄이면 \(\pi\)의 완전 정밀도 값으로 수렴합니다. 마찬가지로 exp(-x^2)는 \(\sqrt{\pi} \approx 1.77245385090552\) 를 반환합니다.

자주 묻는 질문

왜 "수렴하지 않음"이라고 표시되나요? 대부분은 적분이 발산하거나(피적분 함수가 감쇠하지 않는 경우, 예: \(f = 1\)) 함수가 주기적/진동하는 경우입니다. DE 구적법은 비주기적이며 끝점에서 해석적인 피적분 함수를 전제로 합니다.

정밀도는 얼마로 설정해야 하나요? 15자리는 배정밀도(double precision)에 해당하며 무난한 기본값입니다. 배정밀도가 지원할 수 있는 수준을 훨씬 넘는 자릿수를 요청해도 결과가 더 좋아지지는 않습니다.

특이점이 있는 함수도 적분할 수 있나요? 가장 바깥쪽 노드의 가중치가 거의 0에 가깝게 처리되므로 끝점에서의 거동은 잘 견딥니다. 하지만 실수 축 내부에 극점이 있으면 계산이 실패합니다.