지수적분 En(x)란?
차수 n의 지수적분 En(x)는 \(e^{-xt}/t^{n}\)을 t = 1부터 무한대까지 적분한 정적분입니다. 복사 전달, 중성자 수송, 열전도, 안테나 이론 등 물리학과 공학 전반에서 자주 등장하는 함수죠. 정수 차수 n이 고정되면 En(x)는 x에 대해 매끄럽고 양수이며 단조감소하는 함수로, x가 커질수록 0으로 수렴합니다. 이 계산기는 (x, En(x)) 쌍으로 이루어진 전체 표와 선그래프를 만들어 주므로 곡선의 모양을 한눈에 살펴볼 수 있습니다.
$$E_{\text{n}}(x_i) = \int_{1}^{\infty} \frac{e^{-x_i\,t}}{t^{\,\text{n}}}\, dt, \qquad x_i = \text{Initial }x + i \cdot \text{Step}$$
계산기 사용법
네 가지 값을 입력하세요. 차수 n(0, 1, 2, 3과 같은 음이 아닌 정수), 표가 시작되는 x의 초깃값, 행마다 x에 더해지는 증가량(간격), 그리고 생성할 반복 횟수(행 수)입니다. 계산기는 i = 0부터 행 수 − 1까지 \(x_i = \text{초깃값} + i \cdot \text{간격}\)을 구하고, 각 지점에서 En(xi)를 평가합니다. 기본값(n = 2, 시작 0, 간격 0.02, 101행)을 쓰면 x가 0.00부터 2.00까지 0.02 간격으로 진행됩니다.
공식 설명
En(x)는 잘 알려진 수치 계산 기법으로 평가합니다. x > 1일 때는 렌츠(Lentz) 연분수 전개가 빠르게 수렴하고, 0 < x ≤ 1일 때는 멱급수 전개를 사용합니다. 특수한 값은 곧바로 처리하는데, \(E_{0}(x) = e^{-x}/x\)이고 n ≥ 2일 때 \(E_{n}(0) = 1/(n-1)\)입니다. E1(0)은 무한대로 발산하므로 숫자로 표시하지 않고 표에 별도로 표시합니다.
예제 풀이
n = 2, x = 1인 경우를 봅시다. 항등식 \(E_{2}(x) = e^{-x} - x \cdot E_{1}(x)\)에 \(E_{1}(1) \approx 0.2193839\)를 대입하면 $$E_{2}(1) = 0.3678794 - 0.2193839 = 0.1484955$$가 됩니다. 계산기도 같은 값을 돌려줍니다. x = 0에서는 \(E_{2}(0) = 1/(2-1) = 1\)이고, x = 2에서는 \(E_{2}(2) \approx 0.0375343\)으로, 곡선이 분명히 감소하는 모습을 확인할 수 있습니다.
자주 묻는 질문
n을 분수로 넣을 수 있나요? 안 됩니다. 이 계산기는 음이 아닌 정수 차수에 대해서만 정의되며, 정수가 아닌 n은 정의 범위를 벗어납니다.
어떤 행에 "발산"이라고 표시되는 이유는? E1(0)은 수학적으로 무한대(그 지점에서 적분이 수렴하지 않음)이므로, 오해를 부르는 숫자 대신 그 행만 발산으로 표시합니다.
x가 음수일 때는요? n ≥ 1인 경우 x < 0에서는 적분이 대체로 발산하므로, 이 계산기는 x ≥ 0일 때만 유한한 값을 반환합니다.
