Qu'est-ce que l'intégrale exponentielle En(x) ?
L'intégrale exponentielle d'ordre n, notée En(x), correspond à l'intégrale définie de \(e^{-xt}/t^{n}\) de \(t = 1\) jusqu'à l'infini. On la rencontre partout en physique et en ingénierie : transfert radiatif, transport des neutrons, conduction thermique et théorie des antennes font tous appel à ces fonctions. Pour un ordre entier n fixé, c'est une fonction lisse, positive et strictement décroissante de x, qui tend vers zéro lorsque x devient grand. Ce calculateur construit un tableau complet de couples \((x, E_{n}(x))\) ainsi qu'un graphique pour visualiser la courbe d'un seul coup d'œil.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez quatre nombres : l'ordre n (un entier positif ou nul, par exemple 0, 1, 2, 3), la valeur initiale de x où débute le tableau, l'incrément (pas) ajouté à x à chaque ligne suivante, et le nombre de répétitions (le nombre de lignes à générer). L'outil calcule $$E_{\text{n}}(x_i) = \int_{1}^{\infty} \frac{e^{-x_i\,t}}{t^{\,\text{n}}}\, dt, \qquad x_i = \text{Initial }x + i \cdot \text{Step}, \quad i = 0,\dots,\text{Rows}-1$$ pour i allant de 0 à nombre_de_lignes − 1, puis évalue \(E_{n}(x_i)\) en chaque point. Avec les valeurs par défaut (n = 2, départ 0, pas 0,02, 101 lignes), x varie de 0,00 à 2,00 par paliers de 0,02.
La formule expliquée
En(x) est évaluée à l'aide de la méthode numérique classique : pour \(x > 1\), le développement en fraction continue de Lentz converge rapidement, tandis que pour \(0 < x \le 1\), on utilise un développement en série entière. Les valeurs particulières sont traitées directement : \(E_{0}(x) = e^{-x}/x\), et \(E_{n}(0) = 1/(n-1)\) pour \(n \ge 2\). Le cas \(E_{1}(0)\) diverge vers l'infini : il est signalé comme tel dans le tableau plutôt qu'affiché sous forme de nombre.
Exemple détaillé
Prenons \(n = 2\) et \(x = 1\). En utilisant l'identité \(E_{2}(x) = e^{-x} - x \cdot E_{1}(x)\) avec \(E_{1}(1) \approx 0{,}2193839\), on obtient $$E_{2}(1) = 0{,}3678794 - 0{,}2193839 = 0{,}1484955.$$ Le calculateur renvoie exactement la même valeur. En \(x = 0\), \(E_{2}(0) = 1/(2-1) = 1\), et en \(x = 2\), \(E_{2}(2) \approx 0{,}0375343\) — la courbe est nettement décroissante.
FAQ
n peut-il être une fraction ? Non. Cet outil n'est défini que pour des ordres entiers positifs ou nuls ; une valeur non entière de n sort de son domaine de validité.
Pourquoi une ligne indique-t-elle « diverge » ? \(E_{1}(0)\) est mathématiquement infinie (l'intégrale ne converge pas en ce point) : cette ligne est donc marquée comme divergente plutôt que d'afficher un nombre trompeur.
Et les valeurs négatives de x ? Pour \(n \ge 1\), l'intégrale diverge généralement lorsque \(x < 0\) ; le calculateur ne renvoie donc des valeurs finies que pour \(x \ge 0\).
