Ce que fait ce calculateur
Voici un outil statistique universel, fondé sur les mathématiques pures, qui évalue la loi exponentielle sur une plage de valeurs de x et renvoie un tableau de couples (x, y) prêt à être tracé. Vous pouvez calculer la densité de probabilité \(f(x)\), la probabilité cumulée inférieure \(P(x)\) (la fonction de répartition, ou CDF) ou la probabilité cumulée supérieure \(Q(x)\) (la fonction de survie). S'agissant de mathématiques pures, les résultats sont rigoureusement identiques quel que soit le pays ou le domaine d'application.
La forme à paramètre d'échelle
Cet outil utilise la forme à paramètre d'échelle \(b\), et non le taux lambda. Ici, \(b\) représente la moyenne de la loi et le taux vaut \(\lambda = 1/b\). La densité s'écrit $$f(x,b) = \frac{1}{b}\, e^{-x/b}$$ la fonction de répartition $$P(x,b) = 1 - e^{-x/b}$$ et la fonction de survie $$Q(x,b) = e^{-x/b}$$ Elles vérifient \(P(x,b) + Q(x,b) = 1\) pour toute valeur valide de x. La loi est définie pour \(x \ge 0\) et \(b > 0\).
Comment l'utiliser
Choisissez d'abord une fonction (densité, cumulée inférieure ou cumulée supérieure). Saisissez ensuite le paramètre d'échelle \(b\) (la moyenne, qui doit être positive), la valeur initiale de x (nulle ou positive), l'incrément ajouté à chaque ligne, puis le nombre de répétitions (le nombre de lignes). Le tableau démarre à la valeur initiale de x et ajoute l'incrément à chaque ligne suivante.
Exemple concret
Avec fonction = densité, \(b = 2\), x initial = 0, incrément = 0,1 et 101 lignes : la première ligne donne $$f(0) = \frac{1}{2}e^0 = 0{,}5$$ Pour \(x = 1{,}0\), on obtient $$f = 0{,}5 \cdot e^{-0{,}5} = 0{,}303265$$ Pour \(x = 2{,}0\), $$f = 0{,}5 \cdot e^{-1} = 0{,}183940$$ La dernière ligne (\(x = 10{,}0\)) donne $$f = 0{,}5 \cdot e^{-5} = 0{,}003369$$ En passant à la cumulée inférieure pour \(x = 2\), on a \(P = 1 - e^{-1} = 0{,}632121\), et la cumulée supérieure donne \(Q = e^{-1} = 0{,}367879\) — leur somme vaut bien 1.
Questions fréquentes
b est-il la moyenne ou le taux ? \(b\) est la moyenne (le paramètre d'échelle). Le taux lambda vaut \(1/b\) : ainsi, plus \(b\) est grand, moins les événements sont fréquents.
Pourquoi x doit-il être au moins égal à 0 ? La loi exponentielle n'est définie que sur les valeurs positives ou nulles de x ; pour \(x < 0\), la densité vaut 0, \(P\) vaut 0 et \(Q\) vaut 1.
Que se passe-t-il si je fixe l'incrément à 0 ? Toutes les lignes partageront la même valeur de x. C'est autorisé, mais un incrément positif est généralement préférable pour dessiner une courbe.
