Qu'est-ce que le calculateur de percentile de la loi de Weibull ?
Cet outil calcule le percentile (aussi appelé quantile ou fonction de répartition inverse) d'une loi de Weibull à deux paramètres. À partir du paramètre de forme \(m\), du paramètre d'échelle \(\eta\) et d'une probabilité cumulée, il renvoie la valeur \(x\) pour laquelle la distribution atteint cette probabilité. Il s'agit d'un outil purement statistique, valable partout et sans aucune règle propre à un pays.
La loi de Weibull
La loi de Weibull à deux paramètres possède un paramètre de forme \(m\) (parfois noté \(k\) ou bêta) et un paramètre d'échelle \(\eta\) (parfois noté alpha ou lambda), tous deux strictement positifs, définie pour \(x \ge 0\). Sa fonction de répartition (cumulée basse) s'écrit $$P = F(x) = 1 - \exp\left(-\left(\frac{x}{\eta}\right)^{m}\right).$$ La probabilité de survie (cumulée haute) vaut $$Q = 1 - F(x) = \exp\left(-\left(\frac{x}{\eta}\right)^{m}\right),$$ de sorte que \(P + Q = 1\).
La formule du quantile
En résolvant \(P = 1 - \exp\left(-\left(\frac{x}{\eta}\right)^{m}\right)\) par rapport à \(x\), on obtient la fonction de répartition inverse : $$x = \eta\left(-\ln\left(1-P\right)\right)^{\frac{1}{m}}.$$ Si vous fournissez plutôt une probabilité de queue supérieure \(Q\), le calculateur la convertit d'abord via \(P = 1 - Q\) ; de façon équivalente, on a alors $$x = \eta\left(-\ln\left(Q\right)\right)^{\frac{1}{m}}.$$ Le résultat \(x\) conserve l'unité représentée par le paramètre d'échelle (heures, cycles, etc.).
Mode d'emploi
Saisissez le paramètre de forme \(m\) et le paramètre d'échelle \(\eta\). Indiquez si votre valeur de probabilité est une probabilité cumulée basse \(P\) ou une probabilité cumulée haute \(Q\), puis entrez cette probabilité strictement comprise entre 0 et 1. Le résultat correspond au percentile \(x\).
Exemple détaillé
Avec \(m = 2\), \(\eta = 1\) et une probabilité basse \(P = 0{,}5\) : \(-\ln(1 - 0{,}5) = 0{,}693147\), et \(0{,}693147^{\frac{1}{2}} = 0{,}832555\), d'où $$x = 1 \times 0{,}832555 = 0{,}83255.$$ Il s'agit de la médiane de la loi de Weibull(2, 1) (loi de Rayleigh).
FAQ
Et si je dispose de la probabilité de fiabilité (de survie) ? C'est la probabilité haute \(Q\) : sélectionnez « Probabilité cumulée haute \(Q\) » et saisissez-la directement.
Pourquoi la probabilité doit-elle être strictement comprise entre 0 et 1 ? Lorsque \(P\) tend vers 1, le percentile tend vers l'infini, et pour \(P = 0\) il vaut 0 ; aux bornes ou au-delà, le logarithme n'est plus défini.
Le résultat peut-il être négatif ? Non. La loi de Weibull est définie pour \(x \ge 0\), le percentile est donc toujours positif ou nul.
