ワイブル分布のパーセント点（逆累積分布）計算 - 高精度計算

計算を入力してください

結果

パーセント点 x

0.8325546112

value where the cumulative probability is reached (same unit as η)

下側累積確率 P	0.5
上側累積確率 Q	0.5
逆累積分布関数（逆CDF）	x = η · ( -ln(1 - P) )^(1/m)

ワイブル分布パーセント点計算ツールとは？

このツールは、2パラメータのワイブル分布のパーセント点（分位点、逆累積分布関数とも呼ばれます）を求めるものです。形状パラメータ $m$、尺度パラメータ $\eta$、そして累積確率を入力すると、その確率に達する値 $x$ を返します。地域や国ごとのルールに左右されない、純粋な統計計算ツールであり、どこでもそのまま利用できます。

ワイブル分布について

2パラメータのワイブル分布は、形状パラメータ $m$（$k$ や $\beta$ と表記されることもあります）と尺度パラメータ $\eta$（$\alpha$ や $\lambda$ と表記されることもあります）を持ち、いずれも正の値で、定義域は $x \geq 0$ です。下側累積分布関数は $$P = F(x) = 1 - \exp\left(-\left(\frac{x}{\eta}\right)^{m}\right)$$ で表されます。上側確率（生存確率）は $$Q = 1 - F(x) = \exp\left(-\left(\frac{x}{\eta}\right)^{m}\right)$$ となり、$P + Q = 1$ が成り立ちます。

形状パラメータごとのワイブル確率密度関数の曲線 — スケールを固定すると、ワイブル分布のPDFは形状パラメータmによって形が大きく変わります。

分位点（パーセント点）の公式

$P = 1 - \exp\left(-\left(\frac{x}{\eta}\right)^{m}\right)$ を $x$ について解くと、逆累積分布関数が得られます。 $$x = \eta\left(-\ln\left(1-P\right)\right)^{\frac{1}{m}}$$ です。上側確率 $Q$ を入力した場合は、まず $P = 1 - Q$ に変換するため、同等に $$x = \eta\left(-\ln Q\right)^{\frac{1}{m}}$$ となります。求めた $x$ は、尺度パラメータが表す単位（時間、サイクル数など）をそのまま引き継ぎます。

確率からx値へのパーセンタイル対応を示す累積分布関数 — 分位数は逆CDFを読めば求まります。確率Pを選び、xへ対応させます。

使い方

形状パラメータ $m$ と尺度パラメータ $\eta$ を入力します。確率の値が下側累積確率 $P$ か、上側累積確率 $Q$ かを選び、0 より大きく 1 より小さい確率を入力してください。計算結果としてパーセント点 $x$ が表示されます。

計算例

$m = 2$、$\eta = 1$、下側確率 $P = 0.5$ の場合：$-\ln(1 - 0.5) = 0.693147$、その平方根 $0.693147^{1/2} = 0.832555$ となり、$x = 1 \times 0.832555 = 0.83255$ です。これは Weibull(2, 1)（レイリー分布）の中央値（メジアン）にあたります。