この計算ツールでできること
このツールは、幾何分布のパーセント点（分位点）を求めます。累積確率と、1回あたりの成功確率pを入力すると、対応する値xを算出します。ここでの幾何分布は、最初の成功が起こるまでの失敗回数を数えるもので、x = 0, 1, 2, 3, … を台とします。その確率質量関数は \(f(x, p) = p(1 - p)^{x}\) です。
2種類の累積確率の定義
下側・上側のどちらの裾からでも計算できます。下側累積確率 \(P(x, p) = 1 - (1 - p)^{x+1}\) は、失敗回数がx回以下となる確率です。上側累積確率 \(Q(x, p) = (1 - p)^{x}\) は、失敗回数がx回以上となる確率です。求めたい側のモードを選び、その確率値を入力してください。
計算式の解説
\(q = 1 - p\) とおきます。下側累積分布関数を逆算すると、\(1 - q^{x+1} = P\) から $$x = \frac{\ln(1 - P)}{\ln(q)} - 1$$ が得られます。上側累積分布関数を逆算すると、\(q^{x} = Q\) から $$x = \frac{\ln(Q)}{\ln(q)}$$ が得られます。xは失敗回数を表す整数でなければならないため、求めるパーセント点は \(\lceil x \rceil\)（小数点以下を切り上げた値）とし、0以上になるように調整します。なお、精度を重視する用途のために、連続値（実数解）も併せて表示します。
計算例
下側モードで \(P = 0.8\)、\(p = 0.4\) の場合。このとき \(q = 0.6\)、\(\ln(0.6) = -0.5108256\) です。 $$x = \frac{\ln(0.2)}{\ln(0.6)} - 1 = \frac{-1.6094379}{-0.5108256} - 1 = 3.151035 - 1 = 2.151035$$ これを切り上げると、整数のパーセント点は \(x = 3\) となります。確認すると、\(P(3) = 1 - 0.6^{4} = 0.8704 \geq 0.8\) であるのに対し、\(P(2) = 0.784 < 0.8\) であり、\(x = 3\) が正しいことがわかります。
よくある質問（FAQ）
なぜ切り上げ（ceil）でパーセント点が求まるのですか？ 整数の分位点は、累積確率が目標値に達する最小のxだからです。そのため連続解を切り上げます。
p = 0 や p = 1 のときはどうなりますか？ \(p = 0\) では成功が決して起こらないため、分位点は未定義（無限大）となります。\(p = 1\) ではすべての確率が \(x = 0\) に集中するため、分位点は0です。
Pをちょうど1にできますか？ 下側モードでは、有限のxで \(P = 1\) に到達することはありません（累積分布関数は1に近づくだけです）。そのためこの入力は未定義として扱われます。
