この計算機でできること
このツールは、与えられた尺度パラメータ b のもとで、任意の点 x における指数分布を評価します。出力は次の3つです。確率密度 \(f(x)\)、下側累積確率 \(P(X \le x)\)、そして上側累積確率 \(P(X > x)\)。指数分布は世界共通の数学であり、どこで使っても結果は同じです。待ち時間や製品の寿命、独立に発生するランダムな事象の間隔などをモデル化する際に、幅広く用いられています。
使い方
0 以上のパーセンタイル点 x と、正の値の尺度パラメータ b を入力すると、3つの結果が表示されます。ここで b は尺度を表し、分布の平均に等しくなります。レート（率）パラメータは \(\lambda = 1/b\) の関係です。教科書がレートによるパラメータ表示を採用している場合は、入力前に \(b = 1/\lambda\) として変換してください。
計算式の解説
\(x \ge 0\) かつ \(b > 0\) のとき:
- 確率密度: $$f(x) = \frac{1}{b}\, e^{-x/b}$$
- 下側累積確率（CDF）: $$P(X \le x) = 1 - e^{-x/b}$$
- 上側累積確率（生存関数）: $$P(X > x) = e^{-x/b}$$
生存項 \(e^{-x/b}\) を一度だけ計算して使い回しているため、下側累積確率と上側累積確率の合計は常にちょうど 1 になります。
計算例
\(x = 2\)、\(b = 1\) としてみましょう。比 \(x/b = 2\) となり、\(e^{-2} \approx 0.135335\) です。したがって確率密度は \(f(2) = (1/1)\cdot 0.135335 = 0.135335\)、下側累積確率は \(1 - 0.135335 = 0.864665\)、上側累積確率は \(0.135335\) となります。検算: \(0.864665 + 0.135335 = 1.0\)。
よくある質問
尺度パラメータ b とは何ですか？ 指数分布の平均を表す値です。b を大きくすると分布が横に広がり、0 付近の確率密度は低くなります。
レート（率）で与えられている場合はどうしますか？ レート \(\lambda\) がわかっているなら、\(b = 1/\lambda\) を入力してください。たとえばレートが 0.5 なら、尺度は \(b = 2\) です。
x = 0 のときはどうなりますか？ 確率密度は \(1/b\)、下側累積確率は 0、上側累積確率は 1 になります。まだ時間が経過していないためです。
