这个计算器能做什么
本工具用于在指定点 x 处，按给定的尺度参数 b 计算指数分布的取值。它会一次性给出三个结果：概率密度 \(f(x)\)、左侧（下）累积概率 \(P(X \le x)\)，以及右侧（上）累积概率 \(P(X > x)\)。指数分布属于通用数学，在任何国家和地区都遵循相同的规则，常用于刻画等待时间、寿命，以及相互独立随机事件之间的间隔。
如何使用
输入一个非负的分位点 x，再输入一个严格大于零的尺度参数 b，即可读取上述三项结果。这里的 b 表示尺度，它等于分布的均值；对应的速率参数为 \(\lambda = 1/b\)。如果你的教材采用速率参数化（用 \(\lambda\) 表示），只需先换算为 \(b = 1/\lambda\) 再填入即可。
公式说明
当 \(x \ge 0\) 且 \(b > 0\) 时：
- 概率密度：$$f(x) = \frac{1}{b} \cdot e^{-x/b}$$
- 左侧累积分布（CDF）：$$P(X \le x) = 1 - e^{-x/b}$$
- 右侧累积（生存函数）：$$P(X > x) = e^{-x/b}$$
由于生存项 \(e^{-x/b}\) 只需计算一次并被重复使用，因此左侧与右侧累积概率之和恒等于 1。
计算示例
设 \(x = 2\)、\(b = 1\)。则 \(x/b = 2\)，\(e^{-2} \approx 0.135335\)。于是概率密度为 $$f(2) = \frac{1}{1} \cdot 0.135335 = 0.135335$$ 左侧累积概率为 \(1 - 0.135335 = 0.864665\)，右侧累积概率为 \(0.135335\)。验证：\(0.864665 + 0.135335 = 1.0\)。
常见问题
尺度参数 b 是什么？它就是指数分布的均值。b 越大，分布越分散，靠近零处的概率密度也越低。
如果给出的是速率参数怎么办？如果你拿到的是速率 \(\lambda\)，请填入 \(b = 1/\lambda\)。例如速率为 0.5 时，对应的尺度 \(b = 2\)。
当 x = 0 时会怎样？此时概率密度等于 \(1/b\)，左侧累积概率为 0，右侧累积概率为 1，因为此刻还没有任何时间流逝。
