Bu araç ne işe yarar?
Bu hesaplama aracı, belirli bir b ölçek parametresi için seçtiğiniz x noktasında üstel dağılımı değerlendirir. Üç farklı sonuç verir: olasılık yoğunluğu \(f(x)\), alt (sol) kümülatif olasılık \(P(X \le x)\) ve üst (sağ) kümülatif olasılık \(P(X > x)\). Üstel dağılım evrensel bir matematiksel kavramdır — her yerde aynıdır — ve bekleme sürelerini, yaşam ömürlerini ve birbirinden bağımsız rastgele olaylar arasındaki süreleri modellemek için yaygın olarak kullanılır.
Nasıl kullanılır?
Negatif olmayan bir x yüzdelik noktası ve kesinlikle pozitif bir b ölçek parametresi girin; ardından üç sonucu okuyun. Burada b ölçek parametresidir ve dağılımın ortalamasına eşittir; oran (rate) parametresi ise \(\lambda = 1/b\) şeklindedir. Ders kitabınız oran parametrelendirmesini kullanıyorsa, değeri girmeden önce \(b = 1/\lambda\) olarak ayarlamanız yeterlidir.
Formülün açıklaması
\(x \ge 0\) ve \(b > 0\) için:
- Yoğunluk: $$f(x) = \frac{1}{b}\, e^{-x/b}$$
- Alt kümülatif (CDF): $$P(X \le x) = 1 - e^{-x/b}$$
- Üst kümülatif (hayatta kalma): $$P(X > x) = e^{-x/b}$$
Hayatta kalma terimi olan \(e^{-x/b}\) bir kez hesaplanıp tekrar kullanıldığından, alt ve üst kümülatif olasılıkların toplamı her zaman tam olarak 1 eder.
Örnek hesaplama
\(x = 2\) ve \(b = 1\) alalım. \(x/b\) oranı 2 olur ve \(e^{-2} \approx 0{,}135335\) değerine eşittir. Buna göre yoğunluk $$f(2) = \frac{1}{1}\cdot 0{,}135335 = 0{,}135335,$$ alt kümülatif \(1 - 0{,}135335 = 0{,}864665\) ve üst kümülatif \(0{,}135335\) olur. Kontrol edelim: \(0{,}864665 + 0{,}135335 = 1{,}0\).
Sıkça Sorulan Sorular
b ölçek parametresi nedir? Üstel dağılımın ortalamasıdır. b ne kadar büyükse dağılım o kadar yayılır ve sıfıra yakın bölgedeki yoğunluk azalır.
Elimde ölçek yerine oran (rate) varsa ne yapmalıyım? Lambda oran değerine sahipseniz, \(b = 1/\lambda\) olarak girin. Örneğin oran 0,5 ise ölçek \(b = 2\) olur.
x = 0 olduğunda ne olur? Yoğunluk \(1/b\) değerine, alt kümülatif 0'a, üst kümülatif ise 1'e eşittir; çünkü henüz hiç zaman geçmemiştir.
