Что считает этот калькулятор
Инструмент вычисляет значения экспоненциального распределения в выбранной точке x при заданном параметре масштаба b. Он выдаёт три величины: плотность вероятности \(f(x)\), левую (нижнюю) накопленную вероятность \(P(X \le x)\) и правую (верхнюю) накопленную вероятность \(P(X > x)\). Экспоненциальное распределение — это универсальная математика, одинаковая во всём мире. Его широко применяют для моделирования времени ожидания, срока службы оборудования и интервалов между независимыми случайными событиями.
Как пользоваться
Введите неотрицательную точку x и строго положительный параметр масштаба b, после чего получите три результата. Здесь b — это масштаб, равный среднему значению распределения; параметр интенсивности при этом равен \(\lambda = 1/b\). Если в вашем учебнике используется параметризация через интенсивность, просто задайте \(b = 1/\lambda\) перед вводом.
Разбор формулы
Для \(x \ge 0\) и \(b > 0\):
- Плотность: $$f(x) = \frac{1}{b}\, e^{-x/b}$$
- Левая накопленная (функция распределения, CDF): $$P(X \le x) = 1 - e^{-x/b}$$
- Правая накопленная (функция надёжности): $$P(X > x) = e^{-x/b}$$
Поскольку выражение надёжности \(e^{-x/b}\) вычисляется один раз и используется повторно, левая и правая накопленные вероятности в сумме всегда дают ровно 1.
Пример расчёта
Возьмём \(x = 2\) и \(b = 1\). Тогда отношение \(x/b = 2\), а \(e^{-2} \approx 0{,}135335\). Получаем плотность $$f(2) = \frac{1}{1}\cdot 0{,}135335 = 0{,}135335,$$ левую накопленную вероятность \(1 - 0{,}135335 = 0{,}864665\) и правую накопленную вероятность \(0{,}135335\). Проверка: \(0{,}864665 + 0{,}135335 = 1{,}0\).
Частые вопросы
Что такое параметр масштаба b? Это среднее значение экспоненциального распределения. Чем больше \(b\), тем шире «растягивается» распределение и тем ниже плотность вблизи нуля.
А если у меня задана интенсивность, а не масштаб? Если известна интенсивность \(\lambda\), введите \(b = 1/\lambda\). Например, интенсивность \(0{,}5\) соответствует масштабу \(b = 2\).
Что происходит при x = 0? Плотность равна \(1/b\), левая накопленная вероятность равна 0, а правая — 1, ведь время ещё не прошло.
