Что такое цифровой корень?
Цифровой корень неотрицательного целого числа — это та единственная цифра, к которой вы приходите, последовательно складывая цифры числа, пока не останется только одна. Например, чтобы найти цифровой корень числа 12345, складываем \(1+2+3+4+5 = 15\), затем \(1+5 = 6\). Этот калькулятор проделает то же самое мгновенно для любого числа.
Как пользоваться калькулятором
Введите в поле любое неотрицательное целое число и нажмите кнопку. Инструмент покажет цифровой корень, продублирует введённое число, а также выведет сумму цифр за первый проход — так вы сможете проследить весь процесс. Десятичная часть не учитывается: калькулятор берёт абсолютное значение целой части.
Разбираем формулу
Вместо того чтобы складывать цифры в цикле снова и снова, для цифрового корня есть изящная замкнутая формула. Она основана на том, что число и сумма его цифр дают одинаковый остаток при делении на 9 (на этом построен метод «исключения девяток»). Для любого положительного целого n:
$$\operatorname{dr}(n) = \begin{cases} 0 & \text{if } n = 0 \\ 1 + \big((n - 1) \bmod 9\big) & \text{if } n > 0 \end{cases} \qquad n = \left\lfloor \left| \text{Number} \right| \right\rfloor$$
Это даёт значение от 1 до 9 для каждого положительного числа и 0 только для нуля. У чисел, кратных 9, цифровой корень равен 9.
Пример с разбором
Возьмём \(n = 9875\). Обычный способ: \(9+8+7+5 = 29\), затем \(2+9 = 11\), затем \(1+1 = 2\). По формуле: \((9875 - 1) \bmod 9 = 9874 \bmod 9 = 4\), тогда \(\operatorname{dr} = 1 + 4 = 5\)? Проверим сумму цифр: \(9+8+7+5 = 29 \to 11 \to 2\). Пересчитаем \(9874 \bmod 9\): сумма цифр \(9+8+7+4 = 28 \to 10 \to 1\), значит \(9874 \bmod 9 = 1\), откуда \(\operatorname{dr} = 2\). Оба способа дают одинаковый результат — 2.
Частые вопросы
Цифровой корень и сумма цифр — это одно и то же? Нет. Сумма цифр — это всего один проход сложения, а цифровой корень продолжает сокращать число, пока не останется одна-единственная цифра.
Чему равен цифровой корень числа, кратного 9? Всегда 9 (кроме нуля, чей цифровой корень равен 0).
Зачем это нужно? На цифровых корнях основан приём «исключения девяток» для проверки арифметических вычислений, а также они встречаются в нумерологии и занимательной математике.
