什么是数字根？
一个非负整数的数字根，是指把它的各位数字反复相加，直到最后只剩下一位数时所得到的那个数字。举个例子，要求 12345 的数字根，先算 \(1+2+3+4+5 = 15\)，再算 \(1+5 = 6\)，结果就是 6。本计算器能对任意数字瞬间完成这一过程。
如何使用本计算器
在输入框中填入任意非负整数并提交即可。工具会返回数字根，同时回显你输入的数字，并显示第一次相加得到的各位数字之和，方便你跟着推演整个过程。小数点会被忽略——计算器只取其绝对值的整数部分。
公式解析
与其无止境地循环相加，数字根其实有一个简洁的闭式公式。它基于这样一个事实：一个数与它的各位数字之和除以 9 时余数相同（这正是“弃九法”的原理）。对任意正整数 \(n\)：
$$\operatorname{dr}(n) = \begin{cases} 0 & \text{if } n = 0 \\ 1 + \big((n - 1) \bmod 9\big) & \text{if } n > 0 \end{cases} \qquad n = \left\lfloor \left| \text{Number} \right| \right\rfloor$$\(\operatorname{dr}(n) = 1 + (n - 1) \bmod 9\)，且 \(\operatorname{dr}(0) = 0\)。
因此对每个正整数，结果都落在 1 到 9 之间，只有 0 的数字根才是 0。凡是 9 的倍数，数字根都为 9。
实例演算
以 \(n = 9875\) 为例。常规算法：\(9+8+7+5 = 29\)，再 \(2+9 = 11\)，再 \(1+1 = 2\)。用公式来算：\((9875 - 1) \bmod 9 = 9874 \bmod 9\)。我们来验算 \(9874 \bmod 9\)：其各位数字之和 \(9+8+7+4 = 28 \to 10 \to 1\)，所以 \(9874 \bmod 9 = 1\)，于是 \(\operatorname{dr} = 1 + 1 = 2\)。两种方法得到的结果一致，都是 2。
常见问题
数字根和各位数字之和是一回事吗？不是。各位数字之和只是相加一次的结果；数字根则会不断化简，直到只剩一位数为止。
9 的倍数的数字根是多少？永远是 9（0 除外，0 的数字根是 0）。
数字根有什么用？数字根是“弃九法”的核心，可用来验算算术结果，此外还常出现在数字命理学和趣味数学之中。
