什么是非中心卡方分布？
非中心卡方分布是普通（中心）卡方分布的推广，它在原有基础上引入了一个非中心参数λ。它刻画的是一组均值不为零的独立正态变量的平方和。该分布在统计功效分析、信号检测和假设检验中应用十分广泛。本计算器纯粹基于数学公式，全球通用——不涉及任何国家或地区的特定规则。
如何使用本计算器
首先选择要输出的量：概率密度f、下累积概率P，还是上累积概率Q。然后输入自由度ν（必须大于0）、非中心参数λ（必须不小于0）以及参考x值。你还可以设置x的初始值、步长增量和行数，从而在一段区间内生成一张（x, 数值）对照表。
公式详解
非中心卡方分布可以看作以泊松(λ/2)为权重、对一系列中心卡方分布加权混合得到的结果。第j项的权重为 \(w_j = e^{-\lambda/2}\,(\lambda/2)^j / j!\)。其概率密度 f 等于各项 \(w_j\) 与自由度为 \(\nu+2j\) 的中心卡方密度之乘积的总和。
$$f(x;\nu,\lambda)=\sum_{j=0}^{\infty}\frac{e^{-\lambda/2}\left(\lambda/2\right)^{j}}{j!}\,\frac{x^{\,k/2-1}e^{-x/2}}{2^{k/2}\,\Gamma\!\left(k/2\right)}\quad\text{where}\;\; k=\nu+2j,\;\; \lambda=\lambda$$下累积概率则是把同一组权重应用于中心卡方分布的累积分布函数（CDF），其中会用到正则化下不完全伽马函数。
$$F(x;\nu,\lambda)=\sum_{j=0}^{\infty}\frac{e^{-\lambda/2}\left(\lambda/2\right)^{j}}{j!}\,P\!\left(\frac{\nu+2j}{2},\;\frac{x}{2}\right)\quad\text{where}\;\; \lambda=\lambda$$上累积概率非常简单：\(Q = 1 - P\)。
实例演算
取 \(\nu = 3\)、\(\lambda = 1\)、\(x = 2\)：泊松(0.5)对应的权重依次为 \(0.6065\)、\(0.3033\)、\(0.0758\)、\(0.0126\)、\(0.0016\)。在 \(x=2\) 处，自由度为 3、5、7、9、11 的中心卡方 CDF 分别为 \(0.4276\)、\(0.1511\)、\(0.0387\)、\(0.0074\)、\(0.0011\)。加权求和后得到 P 约为 \(0.3082\)，因此 Q 约为 \(0.6918\)。同一点处的密度 f 约为 \(0.173\)。
常见问题
当 \(\lambda = 0\) 时会怎样？ 此时分布精确退化为自由度为 \(\nu\) 的中心卡方分布，因为只有 \(j=0\) 这一项存活下来，其权重为 1。
\(\nu\) 可以不是整数吗？ 可以。伽马函数能够处理任何大于0的 \(\nu\)，所以分数自由度同样有效。
为什么在 \(x = 0\) 处密度为 0？ 当 \(\nu\) 大于或等于 2 时，密度在原点处为 0；当 \(\nu\) 小于 2 时，密度会发散，因此本计算器作为实用处理，在 \(x = 0\) 处统一返回 0。
