नॉनसेंट्रल काई-स्क्वायर्ड वितरण क्या है?
नॉनसेंट्रल काई-स्क्वायर्ड वितरण साधारण (सेंट्रल) काई-स्क्वायर्ड वितरण का ही एक व्यापक रूप है, जिसमें एक नॉनसेंट्रैलिटी पैरामीटर \(\lambda\) जोड़ा जाता है। यह उन स्वतंत्र नॉर्मल चरों के वर्गों के योग का वर्णन करता है जिनका माध्य शून्य नहीं होता। आँकड़ों में इसका व्यापक उपयोग सांख्यिकीय शक्ति विश्लेषण (पावर एनालिसिस), सिग्नल डिटेक्शन और परिकल्पना परीक्षण में होता है। यह कैलकुलेटर पूरी तरह गणित पर आधारित है और हर जगह समान रूप से लागू होता है — इसमें किसी देश-विशेष के नियम नहीं हैं।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
सबसे पहले तय करें कि आपको कौन-सी राशि चाहिए: संभाव्यता घनत्व \(f\), निम्न संचयी संभाव्यता \(P\), या उच्च संचयी संभाव्यता \(Q\)। इसके बाद स्वातंत्र्य कोटि \(\nu\) (0 से बड़ी होनी चाहिए), नॉनसेंट्रैलिटी \(\lambda\) (कम से कम 0), और एक संदर्भ \(x\) मान दर्ज करें। एक श्रेणी में (x, मान) के जोड़ों की तालिका बनाने के लिए \(x\) का प्रारंभिक मान, स्टेप वृद्धि और पंक्तियों की संख्या सेट करें।
सूत्र की व्याख्या
नॉनसेंट्रल काई-स्क्वायर्ड वितरण असल में सेंट्रल काई-स्क्वायर्ड वितरणों का एक Poisson(\(\lambda/2\))-भारित मिश्रण है। j-वें पद का भार \(w_j = e^{-\lambda/2}\,(\lambda/2)^{j}/j!\) होता है। घनत्व \(f\), \(w_j\) और \(\nu+2j\) स्वातंत्र्य कोटि वाले सेंट्रल काई-स्क्वायर्ड घनत्व के गुणनफलों का योग है।
$$f(x;\nu,\lambda)=\sum_{j=0}^{\infty}\frac{e^{-\lambda/2}\left(\lambda/2\right)^{j}}{j!}\,\frac{x^{\,k/2-1}e^{-x/2}}{2^{k/2}\,\Gamma\!\left(k/2\right)}\quad\text{where}\;\; k=\nu+2j,\;\; \lambda=\lambda$$निम्न संचयी संभाव्यता इसी मिश्रण को सेंट्रल काई-स्क्वायर्ड CDF पर लागू करके मिलती है, जो रेगुलराइज़्ड लोअर अपूर्ण गामा फ़ंक्शन का उपयोग करता है।
$$F(x;\nu,\lambda)=\sum_{j=0}^{\infty}\frac{e^{-\lambda/2}\left(\lambda/2\right)^{j}}{j!}\,P\!\left(\frac{\nu+2j}{2},\;\frac{x}{2}\right)\quad\text{where}\;\; \lambda=\lambda$$उच्च संचयी संभाव्यता बस \(Q = 1 - P\) से प्राप्त होती है।
हल किया गया उदाहरण
मान लीजिए \(\nu = 3\), \(\lambda = 1\), \(x = 2\): तब Poisson(0.5) के भार हैं \(0.6065, 0.3033, 0.0758, 0.0126, 0.0016\)। \(x=2\) पर 3, 5, 7, 9, 11 स्वातंत्र्य कोटियों के लिए सेंट्रल काई-स्क्वायर्ड CDF क्रमशः \(0.4276, 0.1511, 0.0387, 0.0074, 0.0011\) हैं। इनका भारित योग \(P\) लगभग \(0.3082\) देता है, इसलिए \(Q\) लगभग \(0.6918\) होगा। इसी बिंदु पर घनत्व \(f\) लगभग \(0.173\) है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
जब \(\lambda = 0\) हो तो क्या होता है? तब यह वितरण ठीक \(\nu\) स्वातंत्र्य कोटि वाले सेंट्रल काई-स्क्वायर्ड वितरण में बदल जाता है, क्योंकि केवल \(j=0\) वाला पद ही भार 1 के साथ बचता है।
क्या \(\nu\) पूर्णांक के बजाय भिन्न (दशमलव) हो सकता है? हाँ। गामा फ़ंक्शन 0 से बड़े किसी भी \(\nu\) को संभाल लेता है, इसलिए भिन्नात्मक स्वातंत्र्य कोटियाँ भी मान्य हैं।
\(x = 0\) पर घनत्व 0 क्यों होता है? \(\nu\) के 2 या उससे अधिक होने पर मूल बिंदु पर घनत्व 0 रहता है; \(\nu\) के 2 से कम होने पर यह अनंत की ओर बढ़ता है, इसलिए व्यावहारिक सीमा के रूप में कैलकुलेटर \(x = 0\) पर 0 ही लौटाता है।
