फर्मा की लघु प्रमेय कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

आधार (a)

अभाज्य (p)

परिणाम

a^(p−1) mod p

1

Equals 1 — Fermat's Little Theorem holds

a^p mod p	2
a mod p	2
क्या p अभाज्य है?	Yes
gcd(a, p)	1

फर्मा की लघु प्रमेय क्या है?

फर्मा की लघु प्रमेय (Fermat's Little Theorem) संख्या सिद्धांत (number theory) का एक आधारभूत नियम है। यह कहती है कि यदि p एक अभाज्य संख्या है और a एक ऐसा पूर्णांक है जो p से विभाज्य नहीं है (अर्थात् \(\gcd(a, p) = 1\)), तो a की घात (p − 1) को p से भाग देने पर शेषफल 1 बचता है। प्रतीकों में: $$a^{\,p-1} \equiv 1 \pmod{p}$$ इसका एक अधिक सामान्य रूप हर पूर्णांक a के लिए लागू होता है: $$a^{\,p} \equiv a \pmod{p}$$

फ़र्मा का छोटा प्रमेय: a को घात p-1 तक बढ़ाने पर अभाज्य p के मॉड्यूलो 1 पर लौट आता है।

इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

एक आधार मान a और एक मान p दर्ज करें। कैलकुलेटर जाँचता है कि p अभाज्य है या नहीं, \(\gcd(a, p)\) की गणना करता है, और तेज़ मॉड्यूलर घातांकन (fast modular exponentiation) की मदद से \(a^{\,p-1} \bmod p\) तथा \(a^{\,p} \bmod p\) दोनों का मान निकालता है। जब p अभाज्य हो और \(\gcd(a, p) = 1\) हो, तो पहला परिणाम हमेशा 1 आएगा — यही प्रमेय की पुष्टि करता है। यदि ये शर्तें पूरी नहीं होतीं, तो \(a^{\,p-1}\) का परिणाम n/a के रूप में दिखाया जाता है, क्योंकि प्रमेय उस स्थिति में 1 के मान की गारंटी नहीं देती।

सूत्र की व्याख्या

मॉड्यूलर घातांकन में आधार को बार-बार वर्ग किया जाता है और साथ ही p से मॉड्यूलो घटाया जाता है, जिससे बड़ी-बड़ी घातें भी आसानी से संभाली जा सकती हैं। यह प्रमेय अभाज्यता परीक्षणों (फर्मा परीक्षण), RSA एन्क्रिप्शन की कुंजी गणित, और मॉड्यूलर प्रतिलोम (modular inverse) निकालने का आधार है — क्योंकि किसी अभाज्य p के लिए \(a^{\,p-2} \bmod p\) ही a का मॉड्यूलर प्रतिलोम होता है।

विज्ञापन

हल किया हुआ उदाहरण

मान लीजिए \(a = 2\) और \(p = 7\)। चूँकि 7 अभाज्य है और \(\gcd(2, 7) = 1\), हम अपेक्षा करते हैं कि $$2^{6} \bmod 7 = 64 \bmod 7 = 1$$ हो। ✔ सामान्य रूप से $$2^{7} \bmod 7 = 128 \bmod 7 = 2$$ आता है, जो \(a \bmod 7 = 2\) के बराबर है। ✔

हल किया गया उदाहरण: क्रमिक वर्ग और mod p में अपचयन से परिणाम 1 प्राप्त होता है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

यदि p अभाज्य न हो तो? ऐसी स्थिति में प्रमेय विफल हो सकती है। कैलकुलेटर p को अनभाज्य के रूप में चिह्नित कर देता है और तब केवल सामान्य \(a^{\,p} \bmod p\) मान ही सार्थक होता है — जो ज़रूरी नहीं कि a के बराबर हो।

यदि a, p का गुणज हो तो? तब \(\gcd(a, p) \neq 1\) होगा, इसलिए \(a^{\,p-1} \bmod p\) का मान 1 नहीं आएगा (वह 0 होगा)। फिर भी सामान्य रूप \(a^{\,p} \equiv a\) लागू रहता है।

क्या मैं इससे मॉड्यूलर प्रतिलोम निकाल सकता हूँ? हाँ — किसी अभाज्य p के लिए \(a^{\,p-2} \bmod p\), a का मॉड्यूलो p गुणनात्मक प्रतिलोम (multiplicative inverse) होता है।