Fermat'nın Küçük Teoremi Hesaplama Aracı

Hesaplamaya Girin

Taban (a)

Asal (p)

Sonuç

a^(p-1) mod p

1

Equals 1 — Fermat's Little Theorem holds

a^p mod p	2
a mod p	2
p asal mı?	Yes
OBEB(a, p)	1

Fermat'nın Küçük Teoremi Nedir?

Fermat'nın Küçük Teoremi, sayılar teorisinin temel taşlarından biridir. Bu teoreme göre, p bir asal sayı ve a p'ye bölünmeyen bir tam sayı ise (yani OBEB(a, p) = 1 ise), a sayısının (p − 1) kuvveti p'ye bölündüğünde 1 kalanını verir. Sembollerle ifade edersek: \(a^{\,p-1} \equiv 1 \pmod{p}\). Teoremin daha genel bir biçimi ise her a tam sayısı için geçerlidir: \(a^{\,p} \equiv a \pmod{p}\).

Fermat'nın Küçük Teoremi: a'nın p-1 kuvveti, asal p modülünde 1'e döner.

Bu Aracı Nasıl Kullanırsınız?

Bir taban değeri a ve bir p değeri girin. Hesaplama aracı p'nin asal olup olmadığını kontrol eder, OBEB(a, p) değerini bulur ve hızlı modüler üs alma yöntemiyle hem \(a^{\,p-1} \bmod p\) hem de \(a^{\,p} \bmod p\) değerlerini hesaplar. p asal olduğunda ve OBEB(a, p) = 1 olduğunda, ilk sonuç daima 1 çıkar; bu da teoremi doğrular. Bu koşullar sağlanmadığında \(a^{\,p-1}\) sonucu n/a olarak gösterilir, çünkü teorem bu durumda 1 değerini garanti etmez.

Formülün Açıklaması

Modüler üs alma yönteminde taban tekrar tekrar karesine yükseltilirken p'ye göre mod alınır; böylece çok büyük üsler bile yönetilebilir kalır. Bu teorem; asallık testlerinin (Fermat testi), RSA şifreleme anahtar matematiğinin ve modüler terslerin hesaplanmasının temelini oluşturur. Çünkü \(a^{\,p-2} \bmod p\), a sayısının asal bir p'ye göre tersini verir.

Reklam

Çözümlü Örnek

a = 2 ve p = 7 olsun. 7 asal ve OBEB(2, 7) = 1 olduğundan, $$2^{6} \bmod 7 = 64 \bmod 7 = 1$$ sonucunu bekleriz. ✔ Genel biçim ise $$2^{7} \bmod 7 = 128 \bmod 7 = 2$$ sonucunu verir; bu da \(a \bmod 7 = 2\) değerine eşittir. ✔

Çözümlü örnek: ardışık kare alma ve mod p indirgemesi sonucu 1'e ulaşır.

Sıkça Sorulan Sorular

Peki p asal değilse ne olur? Teorem geçerli olmayabilir. Hesaplama aracı p'yi asal değil olarak işaretler ve yalnızca genel \(a^{\,p} \bmod p\) değeri anlamlı olur; bu değer de mutlaka a'ya eşit olmak zorunda değildir.

a, p'nin bir katı ise ne olur? Bu durumda OBEB(a, p) ≠ 1 olur, dolayısıyla \(a^{\,p-1} \bmod p\) sonucu 1 olmaz (0 çıkar). Ancak genel biçim olan \(a^{\,p} \equiv a\) yine geçerliliğini korur.

Modüler ters bulmak için kullanabilir miyim? Evet. Asal bir p için \(a^{\,p-2} \bmod p\), a sayısının p'ye göre çarpımsal tersidir.