De Moivre teoremi nedir?
De Moivre teoremi, karmaşık sayılar teorisinin güçlü özdeşliklerinden biridir ve kutupsal formda yazılmış bir karmaşık sayıyı, tekrar tekrar çarpma derdine girmeden istediğiniz kuvvete yükseltmenizi sağlar. Bir karmaşık sayının modülü r, argümanı (yön açısı) θ ise, bu sayıyı n. kuvvete yükselttiğinizde modül rⁿ olur ve açı n ile çarpılır. Bu hesaplama aracı tüm bunları anında yapar ve sonucu ayrıca alıştığımız a + bi (dik koordinat) formuna geri çevirir.
Aracı nasıl kullanırsınız?
Modül r değerini (orijine olan uzaklık), açı θ değerini (argüman), kuvvet n değerini girin ve açınızın derece mi yoksa radyan cinsinden mi olduğunu seçin. Araç size yeni modül \(r^{n}\) değerini, yeni açı \(n\theta\) değerini ve sonucun gerçel (reel) ile sanal kısımlarını verir.
Formül açıklaması
Teorem şunu söyler:
$$\left(r\left(\cos\theta + i\cdot\sin\theta\right)\right)^{n} = r^{n}\left(\cos\!\left(n\theta\right) + i\cdot\sin\!\left(n\theta\right)\right)$$Burada modül \(n\). kuvvete yükseltilir, açı ise \(n\) ile çarpılır. Dik koordinat formuna çevirdiğimizde \(a = r^{n}\cdot\cos\!\left(n\theta\right)\) ve \(b = r^{n}\cdot\sin\!\left(n\theta\right)\) elde edilir.
Çözümlü örnek
\(\left(2\left(\cos 30° + i\cdot\sin 30°\right)\right)^{3}\) ifadesini ele alalım. Yeni modül \(2^{3} = 8\), yeni açı ise \(3 \times 30° = 90°\) olur. Dolayısıyla sonuç
$$8\left(\cos 90° + i\cdot\sin 90°\right) = 8\left(0 + i\cdot 1\right) = 0 + 8i$$şeklindedir.
Sıkça sorulan sorular
n mutlaka tam sayı mı olmalı? De Moivre teoremi tam sayı kuvvetlerde tam olarak geçerlidir. Tam sayı olmayan kuvvetler tek bir geçerli kök verir; ancak karmaşık sayıların genel olarak birden fazla kökü vardır.
Derece mi, radyan mı? İkisi de işinizi görür — yeter ki uygun birimi seçin. Çıktı açısı, seçtiğiniz birimle aynı cinsten verilir.
r negatif olursa ne olur? Modül normalde negatif olmayan bir değerdir; negatif bir \(r\), \(r^{n}\) kuvvetinde olduğu gibi alınır ve özellikle tam sayı olmayan \(n\) değerlerinde beklenmedik işaretler ortaya çıkabilir.
