什么是棣莫弗定理？
棣莫弗定理（De Moivre's Theorem）是复数理论中一个非常实用的恒等式，它让你无需反复相乘，就能对极坐标形式的复数求任意次幂。如果一个复数的模为 \(r\)、辐角为 \(\theta\)，那么将它求 \(n\) 次幂时，只需把模变为 \(r^n\)，并将辐角乘以 \(n\) 即可。本计算器会瞬间完成这一运算，并把结果换算回我们熟悉的直角坐标形式 \(a + bi\)。
如何使用本计算器
依次输入模 r（即到原点的距离）、辐角 θ（即幅角）、幂次 n，并选择辐角采用角度（度）还是弧度。工具会返回新的模 \(r^n\)、新的辐角 \(n\theta\)，以及结果的实部和虚部。
公式解析
定理表述为：$$\left(r(\cos\theta + i\cdot\sin\theta)\right)^{n} = r^{n}\left(\cos(n\theta) + i\cdot\sin(n\theta)\right)$$即把模求 \(n\) 次幂，把辐角乘以 \(n\)。换算成直角坐标形式后，得到 \(a = r^{n}\cdot\cos(n\theta)\)，\(b = r^{n}\cdot\sin(n\theta)\)。
实例演示
以 \(\left(2(\cos 30° + i\cdot\sin 30°)\right)^{3}\) 为例。新的模为 \(2^3 = 8\)，新的辐角为 \(3 \times 30° = 90°\)。因此结果为 $$8(\cos 90° + i\cdot\sin 90°) = 8(0 + i\cdot 1) = 0 + 8i$$
常见问题
n 必须是整数吗？当 \(n\) 为整数时，棣莫弗定理严格成立。若 \(n\) 为非整数，则只能得到一个有效的根，而一般来说复数会有多个根。
该用角度还是弧度？两者皆可，只要选对对应的单位即可。输出的辐角会采用你所选的相同单位。
如果 r 是负数会怎样？模通常是非负的；若输入负的 \(r\)，工具会按字面意义代入 \(r^n\) 进行计算，对于非整数 \(n\) 可能会出现意料之外的正负号。
