什么是中心极限定理？
中心极限定理（Central Limit Theorem，简称 CLT）是统计学的基石之一。它指出：无论原始总体服从什么分布，只要从一个均值为 \(\mu\)、标准差为 \(\sigma\) 的总体中反复抽取容量为 \(n\) 的随机样本，随着 \(n\) 不断增大，这些样本均值的分布都会逐渐趋近于正态分布。本计算器可以帮你算出该抽样分布的两个核心参数：均值和标准误。
如何使用本计算器
输入总体均值（\(\mu\)）、总体标准差（\(\sigma\)）以及你的样本量（\(n\)），工具就会给出抽样分布的均值（等于 \(\mu\)）、均值的标准误（SE）以及样本均值的方差（\(\sigma^2/n\)）。一个常用的经验法则是：当 \(n \geq 30\) 时，正态近似就比较可靠了。
公式详解
中心极限定理告诉了我们关于样本均值抽样分布的两件事。第一，它的中心与总体均值一致：\(\mu_{\bar{x}} = \mu\)。第二，样本越大，分布越集中：\(SE = \sigma / \sqrt{n}\)。由于除以 \(\sqrt{n}\) 会缩小波动，因此样本量越大，对真实均值的估计就越精确。样本均值的方差则等于标准误的平方，即 \(\sigma^2/n\)。
$$\mu_{\bar{x}} = \text{Mean }(\mu) \qquad SE = \frac{\text{SD }(\sigma)}{\sqrt{\text{Sample size }(n)}}$$
实例演示
假设某总体的 \(\mu = 100\)、\(\sigma = 15\)，你抽取容量为 \(n = 36\) 的样本。那么 \(\mu_{\bar{x}} = 100\)，
$$SE = \frac{15}{\sqrt{36}} = \frac{15}{6} = 2.5$$样本均值的方差为
$$\frac{15^2}{36} = \frac{225}{36} = 6.25$$也就是说，样本均值会紧密地集中在 100 附近，标准误仅为 2.5。
常见问题
总体一定要服从正态分布吗？不需要。这正是中心极限定理的强大之处——只要 \(n\) 足够大，即便总体是偏态分布，样本均值的抽样分布也近似服从正态分布。
样本量多大才算"足够大"？常用的标准是 \(n \geq 30\)，不过对于严重偏态的总体，可能需要更大的样本量。
为什么样本越大，标准误越小？对更多观测值取平均，可以抵消随机噪声，因此 \(n\) 越大，对均值的估计就越稳定。
