卡方计算器

输入计算

观测值（O），用逗号分隔

期望值（E），用逗号分隔

结果

卡方统计量（χ²）

17.5

拟合优度检验统计量

类别数量	4
自由度（df）	3

什么是卡方计算器？

这款计算器可用于计算拟合优度检验中的卡方（χ²）统计量。卡方检验衡量的是一组观测频数与某个假设下应得的期望频数之间的吻合程度。χ² 值越大，说明实际观测结果与预期结果的差异越明显。它是一种通用的统计工具，广泛应用于生物学、市场营销、遗传学、质量控制以及社会科学等领域。

使用方法

先以英文逗号分隔，输入你的观测值（O），再按相同顺序输入对应的期望值（E）。每一组配对代表一个类别。计算器会返回 χ² 统计量、所使用的类别数量，以及自由度（类别数减一）。随后，将你算得的 χ² 与卡方分布表中、在你选定显著性水平（例如 0.05）下的临界值进行比较，即可判断是否拒绝原假设。

公式详解

卡方统计量的定义如下：

$$\chi^2 = \sum_{i=1}^{k} \frac{\left(O_i - E_i\right)^2}{E_i}$$

对于每一个类别，用观测值减去期望值，将结果平方，再除以期望值，最后把所有项相加。平方运算可以确保每一项的贡献都是正值，同时对较大的偏差给予更重的"惩罚"。

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The chi-square statistic sums the squared differences between observed and expected counts, each scaled by its expected value.

实例演示

假设你掷一枚骰子，并预期每个点数出现的机会相同。观测值为：90、60、110、40，期望值为：80、80、80、40。各项的贡献分别为 \((90-80)^2/80 = 1.25\)、\((60-80)^2/80 = 5\)、\((110-80)^2/80 = 11.25\)，以及 \((40-40)^2/40 = 0\)。求和后得到 \(\chi^2 = 17.5\)，自由度为 3。

A worked example: comparing observed counts (colored bars) against expected counts (outlined bars) across categories.

常见问题

什么是自由度？在拟合优度检验中，自由度 \(df = k - 1\)（类别数量 − 1）。

χ² 值偏高意味着什么？χ² 值越高，说明观测数据偏离期望值越远，这往往暗示原先的假设可能并不成立。

期望值可以为零吗？不可以——除以为零的期望频数在数学上没有意义，因此这类类别会被自动跳过。